¿Cuál es la distribución del máximo de un par de sorteos iid, donde el mínimo es una estadística de orden de otros mínimos?

Considerar $n\cdot m$ sorteos independientes de cdf $F(x)$, que se define sobre 0-1, donde $n$ y $m$son enteros Agrupe arbitrariamente los sorteos en$n$grupos con m valores en cada grupo. Mire el valor mínimo en cada grupo. Tome el grupo que tiene el mayor de estos mínimos. Ahora, ¿cuál es la distribución que define el valor máximo en ese grupo? Más en general, ¿cuál es la distribución para el$j$estadística de enésimo orden de $m$ sorteos de $F(x)$, donde el orden k de esos m sorteos es también el orden p de los n sorteos de esa estadística de orden k?

Todo eso es lo más abstracto, así que aquí hay un ejemplo más concreto. Considere 8 sorteos de$F(x)$. Agrúpelos en 4 pares de 2. Compare el valor mínimo en cada par. Seleccione el par con el más alto de estos 4 mínimos. Etiqueta que dibuja "a". Etiquete el otro valor en ese mismo par como "b". Cual es la distribucion$F_b(b)$? Sabemos$b>a$. Sabemos que a es el máximo de 4 mínimos de$F(x)$de $F_a(a) = (1-(1-F(x))^2)^4$. Que es$F_b(b)$?

Respondo esto: "Agrupe arbitrariamente los sorteos en n grupos con m valores en cada grupo. Observe el valor mínimo en cada grupo. Tome el grupo que tenga el mayor de estos mínimos. Ahora, ¿cuál es la distribución que define el valor máximo? en ese grupo?
Dejar$X_{i,j}$ la i-ésima variable aleatoria en el grupo j y $f(x_{i,j})$ ($F(x_{i,j})$) su función de densidad (cdf).
Dejar$X_{\max,j}, X_{\min,j}$ el máximo y el mínimo en grupo $j$. Dejar$X_{final}$La variable que resulta al final de todo el proceso. Queremos calcular$P(X_{final}<x)$ cual es

$$P(X_{\max,j_0}<x \hbox{ and } X_{\min,j_0}=\max_j{X_{\min,j}} \hbox { and } 1\leq j_0\leq n)$$ $$=nP(X_{max,1}<x \hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ $$=nmP(X_{1,1}<x\hbox{ and } X_{1,1}=\max_i(X_{i,1})\hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ $$=nmP(X_{1,1}<x, X_{1,1}>X_{2,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j},\ldots,X_{1,1}>X_{m,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j})$$ Ahora deja $Y=\max_{j=2\ldots n} X_{min,j}$ y $W=X_{1,1}$.

Un recordatorio: si $X_1,\ldots X_n$ son iid con pdf (cdf) $h$ ($H$), entonces $X_{\min}$ tiene pdf $h_{\min}=nh(1-H)^{n-1}$ y $X_{\max}$ tiene pdf $h_{max}=nhH^{n-1}$.
Usando esto, obtenemos el pdf de$Y$ es

$$g(y)=(n-1)mf(1-F)^{m-1}[\int_0^y mf(z)(1-F(z))^{m-1} dz]^{n-2},n\geq 2$$

Tenga en cuenta que $Y$es una estadística que es independiente del grupo 1, por lo que su densidad conjunta con cualquier variable del grupo 1 es el producto de las densidades.
Ahora la probabilidad anterior se convierte en

$$nm\int_0^x f(w)[\int_0^w \int_y^w f(x_{2,1})dx_{2,1}\ldots\int_y^w f(x_{m,1})dx_{m,1}g(y)dy]dw$$ $$=nm\int_0^x f(w)[\int_0^w (F(w)-F(y))^{m-1}g(y)dy]dw$$ Al tomar derivada de esta integral wrt $x$ y usando la fórmula binomial obtenemos el pdf de $X_{final}$.

Ejemplo: $X$ es uniforme $n=4$, $m=3$. Entonces

$$g(y)=9(1-y)^2(3y+y^3-3y^2)^2,$$

$$P(X_{final}<x)=(1/55)x^{12}-(12/55)x^{11}$$ $$+ (6/5)x^{10}-(27/7)x^9+(54/7)x^8-(324/35)x^7+(27/5)x^6.$$

Significado de $X_{final}$ es $374/455=0.822$ y su sd es $0.145$ .

Dado que los sorteos son de un iid samples, podemos considerar el sorteo seleccionado. Considerar$f(x) = \frac{d F(x)}{dx}$. Ahora sabemos que$b$ es desde $f(x)$ y eso $b>a$. Entonces,

$$p(b|a) = \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y) dy} \forall b>a, 0 \text{ otherwise}.$$

El mínimo $m$ en un empate de dos es

$$p_2(m) = f(m)\int_m^1f(y) dy.$$

El mínimo más grande entre 4 sorteos sería

$$p(a) = p_2(a)\left[\int_0^a p_2(z) dz\right]^3 = f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3.$$

Así que finalmente,

$$p(b) = \int_0^1 \left[u(a) \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y)dy} f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3 \right] da.$$