¿Significa media = mediana que una distribución unimodal es simétrica?

Para una distribución unimodal, si media = mediana, ¿es suficiente decir que la distribución es simétrica?

Wikipedia dice en relación entre la media y la mediana:

"Si la distribución es simétrica, entonces la media es igual a la mediana y la distribución tendrá un sesgo cero. Si, además, la distribución es unimodal, entonces la media = mediana = modo. Este es el caso de un lanzamiento de moneda o el serie 1, 2, 3, 4, ... Tenga en cuenta, sin embargo, que lo contrario no es cierto en general, es decir, la asimetría cero no implica que la media sea igual a la mediana ".

Sin embargo, no es muy sencillo (para mí) obtener la información que necesito. Cualquier ayuda por favor.

Aquí hay un pequeño contraejemplo que no es simétrico: -3, -2, 0, 0, 1, 4 es unimodal con mode = mediana = media = 0.

Editar: Un ejemplo aún más pequeño es -2, -1, 0, 0, 3.

Si desea imaginar una variable aleatoria en lugar de una muestra, tome el soporte como {-2, -1, 0, 3} con la función de masa de probabilidad 0.2 en todas ellas, excepto en 0 donde es 0.4.

Esto comenzó como un comentario pero creció demasiado; Decidí convertirlo en una respuesta más.

${A\implies B}$$B\implies A$

Me gustaría tratar algunos problemas adicionales y señalar algunas respuestas extensas que ya están relacionadas en cierta medida.

1. La declaración en la página de Wikipedia que cita no es estrictamente cierta tampoco. Considere, por ejemplo, la distribución de Cauchy, que ciertamente es simétrica respecto a su mediana, pero que no tiene una media. La declaración necesita un calificador como 'siempre que existan la media y la asimetría'. Incluso si lo reducimos a la declaración más débil en la primera mitad de la primera oración, todavía necesita "siempre que exista la media".

2. Su pregunta combina en parte la simetría con asimetría cero (supongo que tiene la intención de asimetría del tercer momento, pero se podría escribir una discusión similar para otras medidas de asimetría). Tener 0 asimetría no implica simetría. La parte posterior de su cita y la sección de Wikipedia citada por Alexis mencionan esto, aunque la explicación dada en la segunda cita podría usar algunos ajustes.

Esta respuesta muestra que la relación entre la asimetría del tercer momento y la dirección de la relación entre la media y la mediana es débil (la asimetría del tercer momento y la asimetría del segundo Pearson no tienen por qué corresponder).

El ítem 1. de esta respuesta da un contraejemplo discreto, similar pero diferente al que da Silverfish.

Editar: Finalmente desenterré el ejemplo unimodal que estaba buscando antes.

En esta respuesta menciono la siguiente familia:

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) [1 -\alpha \sin(x^{1/4})]$

$\alpha=0$$\alpha=\frac{_1}{^2}$

(las líneas grises muestran la densidad azul volteada alrededor del eje x para que la asimetría sea clara)

Whuber da otro ejemplo aquí con asimetría cero que es continuo, unimodal y asimétrico. He reproducido su diagrama:

que muestra el ejemplo y lo mismo volteó sobre la media (para mostrar claramente la asimetría) pero debe leer el original, que contiene mucha información útil.

[La respuesta de Whuber aquí da otra familia asimétrica continua de distribuciones con todos los mismos momentos. Hacer el mismo truco "elige dos, voltea uno y toma una mezcla 50-50" tiene el mismo resultado de asimétrico con todos los momentos impares cero, pero creo que no da resultados unimodales aquí (aunque tal vez hay algunos ejemplos). ]

La respuesta aquí discute la relación entre media, mediana y moda.

Esta respuesta discute las pruebas de hipótesis de simetría.

No.

Si, además, la distribución es unimodal, entonces la media = mediana = modo.

De la misma manera que "Si el animal bebé es un pollo, entonces su origen es un huevo" no implica que "Si el origen es un huevo, entonces el animal bebé es un pollo".

Del mismo artículo de Wikipedia:

En los casos en que una cola es larga pero la otra es gorda, la asimetría no obedece a una regla simple. Por ejemplo, un valor cero indica que las colas en ambos lados de la media se equilibran, que es el caso tanto para una distribución simétrica como para distribuciones asimétricas donde las asimetrías se igualan, como una cola que es larga pero delgada, y otro es bajo pero gordo.

Ejemplos interesantes y fáciles de entender provienen de la distribución binomial.

$\times$$=$

            1        2
    +-------------------+
  1 |       0   .32768  |
  2 |       1    .4096  |
  3 |       2    .2048  |
  4 |       3    .0512  |
  5 |       4    .0064  |
  6 |       5   .00032  |
    +-------------------+

El código Stata para esta pantalla era mata : (0..5)' , binomialp(5, (0..5), 0.2)'y presumiblemente es tan simple o más simple en cualquier software estadístico que valga la pena mencionar.

Como cuestión de psicología en lugar de lógica, este ejemplo no puede descartarse de manera convincente como patológico (como en otros problemas, uno podría descartar distribuciones para las que ciertos momentos ni siquiera existen) o como un ejemplo extraño o trivial ideado para ese propósito (como por ejemplo, los datos inventados descritos por @Silverfish o 0, 0, 1, 1, 1, 3).