¿Qué proporción de distribuciones independientes da una distribución normal?

La relación de dos distribuciones normales independientes da una distribución de Cauchy. La distribución t es una distribución normal dividida por una distribución chi-cuadrado independiente. La relación de dos distribuciones chi-cuadrado independientes da una distribución F.

¿Estoy buscando una relación de distribuciones continuas independientes que proporcione una variable aleatoria normalmente distribuida con media y varianza ?σ $\mu$$\sigma^2$

Probablemente hay un conjunto infinito de posibles respuestas. ¿Me puede dar algunas de estas posibles respuestas? Apreciaría particularmente si las dos distribuciones independientes cuya relación se calcula son iguales o al menos tienen una varianza similar.

Deje dondeEtiene una distribución exponencial con media2σ2yZ=±1con igual probabilidad. DejeY2=1/$Y_1 = Z \sqrt{E}$$E$$2 \sigma^2$$Z = \pm 1$ dondeB∼Beta(0.5,0.5). Suponiendo que(Z,E,B)son mutuamente independientes, entoncesY1es independiente deY2eY1/Y2∼Normal(0,σ2). Por lo tanto tenemos$Y_2 = 1 / \sqrt{B}$$B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$$(Z, E, B)$$Y_1$$Y_2$$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

1. independiente de Y 2 ;$Y_1$$Y_2$
2. Ambos continuos; tal que
3. .$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

No he descubierto cómo obtener un . Es más difícil ver cómo hacerlo, ya que el problema se reduce a encontrar A y B, que son independientes de tal manera que A - B $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$$A$$B$ que es bastante más difícil que hacer queA/B∼Normal(0,1)paraAyBindependientes.

$$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$$ $A/B \sim \text{Normal}(0,1)$$A$$B$

Apreciaría especialmente si las dos distribuciones independientes cuya proporción se calcula son las mismas 

No hay posibilidad de que una variable normal pueda escribirse como una razón de dos variables independientes con la misma distribución o familia de distribución (como la distribución F, que es la razón de dos variables distribuidas $\chi^2$ escaladas o la distribución Cauchy, que es la razón de dos variables distribuidas normales con media cero).

• Supongamos que: para cualquier $A, B \sim F$ donde $F$ es la misma distribución o familia de distribución tenemos

  $$X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• También debemos poder revertir $A$ y $B$ (si una variable normal puede escribirse como una razón de dos variables independientes con la misma distribución o familia de distribución, entonces el orden puede revertirse)

  $$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• Pero si $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ entonces $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ no puede ser cierto (lo inverso de una variable distribuida normal no es otra variable distribuida normal).

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Conclusión más amplia: si las variables en cualquier familia de distribución $\mathcal{F}_X$ pueden escribirse como una relación de variables en otra familia de distribución $\mathcal{F}_Y$ entonces debe ser que la familia $\mathcal{F}_X$ está cerrada tomando el recíproco (es decir, para cualquier variable cuya distribución está en $\mathcal{F}_X$ la distribución de su recíproco también estará en $\mathcal{F}_X$ ).

Por ejemplo, el inverso de una variable distribuida de Cauchy también está distribuido por Cauchy. La inversa de una variable distribuida en F también está distribuida en F.

• Este 'si' no es un 'iff', lo contrario no es cierto. Cuando $X$ y $1/X$ están en la misma familia de distribución, entonces no siempre se puede escribir como una distribución de razón con nominador y denominador de la misma familia de distribución.

  Contraejemplo: podemos imaginar familias de distribución para las cuales para cualquier $X$ en la familia tenemos $1/X$ en la misma familia pero no tenemos $P(X=1)=0$ . Esto es contradictorio con el hecho de que para una distribución de razón donde el denominador y el nominador tienen la misma distribución, debemos tener $P(X=1) \neq 0$ (y algo similar se puede expresar para distribuciones continuas como la integral a lo largo de la línea X / Y = 1 en un diagrama de dispersión de X, Y tiene una densidad distinta de cero cuando X e Y tienen la misma distribución y son independientes).

Bueno, aquí hay uno, pero no lo probaré, solo lo mostraré en simulación.

Haga dos distribuciones beta con los mismos parámetros de forma grande (aquí, n = 40 , 000 ), reste 1/2 de los valores x de uno de ellos y llámelo "numerador". Eso nos da un PDF que tiene un rango máximo de ( - $\text{Beta}(200,200)$$n=40,000$$x$, pero debido a que los parámetros de forma son tan grandes, nunca llegamos a los valores máximos del rango. Aquí hay un histograma de unn=40,000"numerador" $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$$n=40,000$

A continuación, llamamos al segundo denominador de distribución beta "sin restar nada", por lo que tiene el rango de distribución beta habitual de y uno de esos se ve así$(0,1)$

Nuevamente, debido a que las formas son tan grandes, no nos acercamos al rango máximo con los valores. A continuación, graficamos el numerador del cociente como PDF con la distribución normal superpuesta.$\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

Ahora, en este caso, el resultado de distribución normal tiene y pruebas de normalidad que se ven así$\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$$

En otras palabras, no podemos probar que la relación no sea normal, incluso si tratamos de hacerlo con mucha fuerza.

¿Ahora por qué? Intuición de mi parte, que tengo en exceso. Prueba dejada al lector, si existe alguna (tal vez a través del límite del método de los momentos, pero de nuevo eso es solo intuición).

$\text{Beta}(20,20)$$\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$$t$$\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

$$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$$t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$$

$X_1^G,X_2^G$$X^C_{\gamma}$

$$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$$

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$$\gamma$

$$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$$

$\mu$$\mu$$\sigma$$\gamma\rightarrow1/\gamma$