Probabilidad de desigualdades

Estoy buscando algunas desigualdades de probabilidad para sumas de variables aleatorias ilimitadas. Realmente agradecería si alguien me puede dar algunos pensamientos.

Mi problema es encontrar un límite superior exponencial sobre la probabilidad de que la suma de variables aleatorias iid ilimitadas, que de hecho son la multiplicación de dos iid gaussianos, exceda cierto valor, es decir, , donde , y se generan iid desde .$\mathrm{Pr}[ X \geq \epsilon\sigma^2 N] \leq \exp(?)$$X = \sum_{i=1}^{N} w_iv_i$$w_i$$v_i$$\mathcal{N}(0, \sigma)$

Intenté usar el límite de Chernoff usando la función de generación de momento (MGF), el límite derivado viene dado por:

$\begin{eqnarray} \mathrm{Pr}[ X \geq \epsilon\sigma^2 N] &\leq& \min\limits_s \exp(-s\epsilon\sigma^2 N)g_X(s) \\ &=& \exp\left(-\frac{N}{2}\left(\sqrt{1+4\epsilon^2} -1 + \log(\sqrt{1+4\epsilon^2}-1) - \log(2\epsilon^2)\right)\right) \end{eqnarray}$

donde $g_X(s) = \left(\frac{1}{1-\sigma^4 s^2}\right)^{\frac{N}{2}}$ es el MGF de $X$ . Pero el límite no es tan apretado. El problema principal en mi problema es que las variables aleatorias son ilimitadas, y desafortunadamente no puedo usar el límite de la desigualdad de Hoeffding.

Seré feliz si me ayudas a encontrar un límite exponencial ajustado.

Usando el límite de Chernoff que sugirió para algunos $s\le 1/(2\sigma^2)$ que se especificarán más adelante,

$$P[X>t] \le \exp(-st) \exp\Big(-(N/2) \log(1-\sigma^4s^2) \Big) \le \exp(-st + \sigma^4s^2 N)$$ donde la segunda desigualdad se cumple gracias a $-\log(1-x)\le 2x$ para cualquier $x\in(0,1/2)$ . Ahora tome $t=\epsilon \sigma^2 N$ y $s=t/(2\sigma^4N)$ , el lado derecho se convierte en $\exp(-t^2/(4\sigma^4N)=\exp(-\epsilon^2 N/4)$ que produce para cualquier ϵ ∈ ( 0 , 1 ) . $$P[X>\epsilon \sigma^2 N] \le \exp(-\epsilon^2 N/4).$$ $\epsilon\in(0,1)$

Otra vía es aplicar directamente las desigualdades de concentración, como la desigualdad de Hanson-Wright, o las desigualdades de concentración para el caos gaussiano de orden 2 que abarca la variable aleatoria que le interesa.

Enfoque más simple sin usar la función de generación de momentos

Tome $\sigma=1$ por simplicidad (de lo contrario, uno puede reescalar dividiendo por $\sigma^2$ ).

Write $v=(v_1,...,v_n)^T$ y $w=(w_1,...,w_n)^T$ . Está solicitando límites superiores en $P(v^Tw>\epsilon N)$ .

Sea $Z= w^T v/\|v\|$ . Entonces $Z\sim N(0,1)$ por independencia de $v,w$ y $\|v\|^2$ es independiente de $Z$ con la distribución $\chi^2$ con $n$ grados de libertad.

Por los límites estándar en normal estándar y $\chi^2$ variables aleatorias,

$$P(|Z|>\epsilon\sqrt{n/2})\le 2\exp(-\epsilon^2 n/4), \qquad\qquad P(\|v\|>\sqrt{2n}) \le \exp(-n(\sqrt 2 -1)^2/2).$$ Combining with the union bound gives an upper bound on $P(v^Tw>\epsilon N)$ of the form $2\exp(-\epsilon^2 n/4) + \exp(-n(\sqrt 2 -1)^2/2)$.

The bound you obtain is of order $e^{-\epsilon}$ as $\epsilon \to \infty$. I don't think you can do much better for general $\epsilon$. From the Wikipedia page on Product Variables the distribution of $w_i v_i$ is $K_0(z)/\pi$ where $K_0$ is a modified Bessel function. From (10.25.3) in the DLMF function list, $K_0(t) \sim e^{-t}/\sqrt{t}$ so that for $x$ sufficiently large $\mathbb{P}(w_i v_i > x) \sim \int_x^\infty e^{-t}/\sqrt{t} dt$ which is not going to give you a sub-Gaussian bound.