Expectativa de un gamma cuadrado

Si una distribución Gamma se parametriza con y , entonces:$\alpha$$\beta$

$$E(\Gamma(\alpha, \beta)) = \frac{\alpha}{\beta}$$

Me gustaría calcular la expectativa de un Gamma al cuadrado, es decir:

$$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = ?$$

Yo creo que es:

$$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2 + \frac{\alpha}{\beta^2}$$

¿Alguien sabe si esta última expresión es correcta?

La expectativa del cuadrado de cualquier variable aleatoria es su varianza más su expectativa al cuadrado, como

$\mathbb{D}^2(X)=\mathbb{E}([X-\mathbb{E}(X)]^2)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2 \Rightarrow \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{D}^2(X)+[\mathbb{E}(X)]^2$ .

La expectativa de la distribución parametrizada como arriba es (como usted mencionó), la varianza es , por lo tanto, la expectativa de su cuadrado es$\Gamma$$\alpha/\beta$ $\alpha/\beta^2$

$(\alpha/\beta)^2+\alpha/\beta^2$ .

Es decir: tienes razón.

En aras de la integridad, calcularé directamente los momentos crudos de la densidad. Primero, bajo una parametrización de forma / velocidad, la distribución gamma tiene densidad Daremos por sentado que para cualquier elección de parámetros , tenemos aunque este resultado se deriva fácilmente de la identidad Luego se deduce que para un entero positivo ,

$$f_X(x) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}, \quad x > 0.$$ $\alpha, \beta > 0$ $$\int_{x=0}^\infty f_X(x) \, dx = 1,$$ $$\int_{z=0}^\infty x^{z-1} e^{-z} \, dz = \Gamma(z).$$ $k$ $$\begin{align*} \mathrm{E}[X^k] &= \int_{x=0}^\infty x^k f_X(x) \, dx \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \beta^\alpha x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^{\alpha+k} x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha+k)} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}, \end{align*}$$ donde en el penúltimo paso observamos que la integral es igual a porque es la integral de una densidad gamma con los parámetros y . Para , obtenemos inmediatamente$1$$\alpha+k$$\beta$$k = 2$$\mathrm{E}[X^2] = \frac{\Gamma(\alpha+2)}{\beta^2 \Gamma(\alpha)} = \frac{(\alpha+1)\alpha}{\beta^2}.$ Otro enfoque es mediante la función de generación de momentos: donde se requiere la condición en para que la integral converja. Podemos reescribir esto como y se deduce que $$\begin{align*} M_X(t) = \mathrm{E}[e^{tX}] &= \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x + tx}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \frac{\beta^\alpha}{(\beta-t)^\alpha} \int_{x=0}^\infty \frac{(\beta-t)^\alpha x^{\alpha-1} e^{-(\beta-t)x}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \biggl(\frac{\beta}{\beta-t}\biggr)^{\!\alpha}, \quad t < \beta, \end{align*}$$ $t$ $$M_X(t) = (1 - t/\beta)^{-\alpha},$$ $$\mathrm{E}[X^k] = \left[ \frac{d^k M_X(t)}{dt^k} \right]_{t=0} = \left[(1-t/\beta)^{-\alpha-k}\right]_{t=0} \prod_{j=0}^{k-1} \frac{\alpha+j}{\beta} = \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}.$$