donde y se distribuye de forma lognormal

Estoy tratando de calcular la expectativa para arbitraria (para la expectativa es infinita) si está distribuido de forma lognormalmente, es decir, .

$$E[e^{cX}]$$ $c<0$$c>0$$X$$\log(X) \sim N(\mu, \sigma)$

Mi idea era escribir la expectativa como una integral, pero no vi cómo proceder:

$$E[e^{cX}] = \frac{1}{\sqrt{2\sigma\pi}}\int_0^\infty \frac{1}{x}\exp\left(cx - \frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx$$

También probé la fórmula Itô (la tarea real es encontrar donde es un movimiento browniano geométrico, pero se reduce al problema anterior porque estamos viendo un proceso de Markov) , pero eso tampoco parecía muy prometedor. Alguien puede ayudarme?$E[e^{cX_T} \mid X_t = x]$$X$

Lo que desea es la función generadora de momento de una variable lognormal, que se sabe que es un problema difícil. Alternativamente, esta es la transformación de Laplace, que es su expresión con reemplazada por . Debes echar un vistazo a https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution que tiene información útil.$c$$-c$

El artículo "Sobre la transformación de Laplace de la distribución lognormal" de Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen y Leonardo Rojas-Nandayapa da la siguiente aproximación, que investigan en detalle. Deje que sea ​​lognormal con parámetros , lo que significa que con . La transformación de Laplace es donde . Entonces consideramos la transformada de Laplace . Luego dan la aproximación a : $X$$(\mu, \sigma^2)$$X=e^Y$$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$

$$E(\exp(-\theta e^y) = e^{-\theta \mu} E(\exp(-\theta e^{Y_0})$$ $Y_0 \sim N(0,\sigma^2)$$L(\theta) = E(\exp(-\theta e^{Y_0})$$L(\theta)$ $$\frac1{\sqrt{1+W(\theta \sigma^2)}}\exp\left\{ -\frac1{2\sigma^2} W(\theta \sigma^2)^2 - \frac1{\sigma^2} W(\theta \sigma^2) \right\}$$ donde no es negativo. Aquí es la función Lambert W, consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function . (Luego, el documento analiza la calidad de esta aproximación y la compara con aproximaciones anteriores).$\theta$$W$