Derivando la distribución bivariada de Poisson

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Recientemente me he encontrado con la distribución bivariada de Poisson, pero estoy un poco confundido sobre cómo se puede derivar.

La distribución está dada por:

P(X=x,Y=y)=e(θ1+θ2+θ0)θ1xx!θ2yy!i=0min(x,y)(xi)(yi)i!(θ0θ1θ2)i

De lo que puedo deducir, el término θ0 es una medida de correlación entre X e Y ; por lo tanto, cuando X e Y son independientes, θ0=0 y la distribución simplemente se convierte en el producto de dos distribuciones de Poisson univariadas.

Teniendo esto en cuenta, mi confusión se basa en el término de suma: supongo que este término explica la correlación entre yX .Y

Me parece que el sumando constituye algún tipo de producto de funciones de distribución acumulativa binomial donde la probabilidad de "éxito" viene dada por y la probabilidad de "falla" viene dada pori! 1(θ0θ1θ2) , porque(i! 1i!1min(x,y)i, pero podría estar muy lejos con esto.(i!1min(x,y)i!)(min(x,y)i)=i!

¿Podría alguien proporcionar alguna ayuda sobre cómo se puede derivar esta distribución? Además, si pudiera incluirse en cualquier respuesta sobre cómo este modelo podría extenderse a un escenario multivariante (digamos tres o más variables aleatorias), ¡sería genial!

(Finalmente, he notado que había una pregunta similar publicada antes ( Comprensión de la distribución bivariada de Poisson ), pero la derivación en realidad no fue explorada).

usuario9171
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¿No debería ser el primer término con exponente lugar de e θ 1 + θ 2 + θ 0 ? e(θ1+θ2+θ0)eθ1+θ2+θ0
Gilles
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@Giles Lo siento, leí mal tu comentario inicialmente, sí, estás en lo correcto; el término debería leer . Gracias por atrapar eso! e(θ1+θ2+θ0)
user9171
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En general, no es "la" para versiones multivariadas de distribuciones univariadas, con algunas excepciones convencionales ("la" normal multivariada, por ejemplo). Hay muchas formas de obtener extensiones multivariadas, según las características que sea más importante tener. Diferentes autores pueden tener diferentes versiones multivariadas de distribuciones univariadas comunes. Por lo tanto, en general, se podría decir algo así como " un Poisson multivariado" o "Poisson bivariado de Fulano de tal y tal". Éste es bastante natural, pero no el único.
Glen_b -Reinstate Monica
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(ctd) ... por ejemplo, algunos autores buscan una distribución multivariante capaz de dependencia negativa, una capacidad que este no posee.
Glen_b -Reinstate Monica

Respuestas:

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En una presentación de diapositivas , Karlis y Ntzoufras definen un Poisson bivariado como la distribución de donde X i(X,Y)=(X1+X0,X2+X0)Xi tiene independientemente distribuciones de Poisson . Recordemos que tener esa distribución significaθi

Pr(Xi=k)=eθiθikk!

para k=0,1,2,.

El evento es la unión disjunta de los eventos.(X,Y)=(x,y)

(X0,X1,X2)=(i,xi,yi)

para todos que hacen que los tres componentes enteros no negativos, de los cuales se deduce que 0 i min ( x , y ) . Porque eli0imin(x,y) es independiente, sus probabilidades se multiplican, de dondeXi

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=Pr((X,Y)=(x,y))=i=0min(x,y)Pr(X0=i)Pr(X1=xi)Pr(X2=yi).

Esta es una fórmula; hemos terminado. Pero para ver que es equivalente a la fórmula en la pregunta, use la definición de la distribución de Poisson para escribir estas probabilidades en términos de los parámetros y (suponiendo que ninguno de θ 1 , θ 2 sea ​​cero) vuelva a trabajarlo algebraicamente para parecerse lo más posible al producto Pr ( X 1 = x ) Pr ( X 2 = y ) :θiθ1,θ2Pr(X1=x)Pr(X2=y)

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=i=0min(x,y)(eθ0θ0ii!)(eθ1θ1xi(xi)!)(eθ2θ2yi(yi)!)=e(θ1+θ2)θ1xx!θ2yy!(eθ0i=0min(x,y)θ0ii!x!θ1i(xi)!y!θ2i(yi)!).

If you really want to--it is somewhat suggestive--you can re-express the terms in the sum using the binomial coefficients (xi)=x!/((xi)!i!) and (yi), yielding

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=e(θ0+θ1+θ2)θ1xx!θ2yy!i=0min(x,y)i!(xi)(yi)(θ0θ1θ2)i,

exactly as in the question.


Generalization to multivariate scenarios could proceed in several ways, depending on the flexibility needed. The simplest would contemplate the distribution of

(X1+X0,X2+X0,,Xd+X0)

for independent Poisson distributed variates X0,X1,,Xd. For more flexibility additional variables could be introduced. For instance, use independent Poisson ηi variables Y1,,Yd and consider the multivariate distribution of the Xi+(Yi+Yi+1++Yd), i=1,2,,d.

whuber
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kudos ! Btw, shouldn't the second eθ0 in the big parenthesis prior to the last step be eθ2 ?
Gilles
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@Gilles Thank you for catching the typo--I fixed it. The initial exponent of θ0+θ1 needed to be θ1+θ2; the eθ0 within the parentheses is correct.
whuber
@whuber Thanks a million! That's a perfect answer!
user9171
@whuber Great answer! I still don't see why the event (X,Y)=(x,y) should be the disjoint union of the events (X0,X1,X2)=(i,xi,yi). I guess this is only true for i=0. Perhaps you meant (X,Y)(x,y) (component-wise)? But is that sufficient to characterize the distribution function?
vanguard2k
@vanguard2k I don't understand your comment. Are you asserting those events are not disjoint? (Yet they must be, for they have distinct values of X0.) Or are you asserting they are not exhaustive? (If so, what value(s) of (X,Y) do you think have not been included?)
whuber
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Here is a way to derive the bivariate poisson distribution.

Let X0,X1,X2 be independent poisson random variables with parameters θ0,θ1,θ2. Then we define Y1=X0+X1,Y2=X0+X2. The variable X0, common to both Y1 an Y2, causes the pair (Y1,Y2) to be correlated. Then we must calculate the probability mass funtion:

P(Y1=y1,Y2=y2)=P(X0+X1=y1,X0+X2=y2)=x0=0min(y1,y2)P(X0=x0)P(X1=y1x0)P(X2=y2y0)=x0=0min(y1,y2)eθ0θ0x0x0!eθ1θ1y1x0(y1x0)!eθ2θ2y2x0(y2x0)!=eθ0θ1θ2θ1y1θ2y2x0=0min(y1,y2)(θ0θ1θ2)x0x0!(y1x0)(y2x0)

Hope this helps!
kjetil b halvorsen
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Hi Kjetil--I fixed the problems with the TEX formatting (but, wishing to change as little as possible, left several typos intact). I do not understand why you are posting a replica of the derivation in my earlier answer, especially when you lost some crucial factors along the way which cause the final result to be incorrect. Is there a particular point you are trying to make?
whuber
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whuber: I started to write my answer before your answer where posted! else, I would not have written it.
kjetil b halvorsen