¿Cuál es la longitud ideal de FIR, dada una longitud de pulso específica?

Estoy tratando de determinar cuál debería ser la longitud del filtro FIR 'ideal', dada la longitud del pulso de un sinusoide en ventana en ruido que de filtrar.$T_p$

Como parámetros en un filtro FIR que diseño, tengo:

1. $F_c = 15 \text{ kHz}$ , la frecuencia central. (Esta es la frecuencia portadora de la señal). Yo se esto.

2. Como se trata de un FIR BPF, especifico la banda de paso como a . Esto se debe a que el ancho de banda de la ventana sinusoidal es$F_{c} - \frac{1}{T_p}$$F_{c} + \frac{1}{T_p}$$\frac{2}{T_p}$

3. El último parámetro que no sé exactamente cómo especificar, es la longitud de este FIR ... aquí es donde me pierdo. ¿Cuál es la longitud ideal aquí (si la hay) ... ¿Debería ser solo la longitud del pulso (en muestras, por supuesto), por lo que es algo similar a un filtro combinado? ¿Significa esto que no tengo más ganancias al aumentar la longitud del filtro?

Como contexto adicional, estoy buscando esta longitud 'ideal', en caso de que exista, porque estoy tratando de filtrar la mayor cantidad de ruido posible, pero también hago todo lo posible para retener los transitorios agudos. Esto es lo que me llevó a preguntar, ¿hay una longitud de filtro ideal para comenzar? Por ejemplo, en la siguiente gráfica a continuación, he filtrado una versión ruidosa de mi señal, con filtros de longitud 11 (rojo) y 171 (negro) respectivamente. Se muestran a continuación:

Como puede ver, aunque el resultado negro es 'más suave', puede ver que también está más 'manchado' en lo que respecta a sus transitorios. En contraste, el rojo aún retiene algo de ruido, pero los transitorios no se ven tan afectados.

La siguiente gráfica muestra los espectros de los filtros anteriores:

TLDR: Entonces, ¿existe una longitud 'ideal' para los filtros FIR, en la medida en que aumentar aún más la longitud del filtro no le proporciona más inmunidad al ruido, sino que podría manchar sus transitorios aún más de lo necesario?

EDITAR:

He agregado dos nuevas imágenes. El primero tiene un filtro de longitud 11, (rojo), un filtro de longitud 171, (negro) y un filtro de longitud 901, (azul). El azul grueso es el espectro de los datos.

Aquí están los resultados correspondientes para el filtro de longitud 11, (rojo), y el nuevo filtro de longitud 901, (negro).

Estoy convirtiendo algunos de mis comentarios de arriba en esta respuesta:

Si está tratando de detectar la presencia de alguna forma de pulso en el canal AWGN, entonces el detector óptimo utiliza un filtro que coincide con la forma de pulso (llamado acertadamente filtro emparejado ); Esto maximiza la relación señal / ruido (SNR) en la salida del filtro y, por lo tanto, proporciona la mejor estadística de detección. Este enfoque es equivalente a una correlación cruzada deslizante de la forma del pulso con la señal observada, expresada matemáticamente de la siguiente manera:$p(t)$$p(t)$

donde es la señal observada y es la estadística de detección resultante.$x(t)$$d(t)$

El problema principal, por lo tanto, consiste en la selección de un umbral apropiado que pueda usarse para determinar dónde ocurren los pulsos de interés en . Específicamente, uno indicaría una detección cuando , donde es un umbral utilizado para equilibrar entre dos métricas de rendimiento opuestas: probabilidad de detección y probabilidad de falsa alarma . Aquí hay un enlace a una respuesta anterior donde hablo un poco más sobre la compensación . Los valores objetivo para estas métricas se elegirían de acuerdo con los requisitos para su aplicación específica.$x(t)$$d(t) > T$$T$ $P_d$ $P_{fa}$

Para este caso, podemos encontrar expresiones generales para y bastante facilidad:$P_d$$P_{fa}$

• Probabilidad de falsa alarma: una "falsa alarma" indica un caso en el que el detector informa la presencia del pulso objetivo cuando en realidad no está presente. Dado que hemos definido el canal como AWGN, eso significa que para una falsa alarma, la señal de entrada es un proceso de ruido blanco gaussiano (WGN). Sin pérdida de generalidad, asumiremos que el ruido es de media cero con varianza .$p(t)$$x(t)$$\sigma^2$

  Para determinar , nos preocupa cómo se ve la señal en la salida del filtro coincidente. Recuerde que se define como:$P_{fa}$$d(t)$

  $$d(t) = x(t) * p(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) p(t-\tau) d\tau$$

  Suponiendo que es un proceso de ruido gaussiano blanco con varianza , se puede demostrar que también será gaussiano, con una varianza igual a:$x(t)$$\sigma^2$$d(t)$

  $$\sigma_d^2 = \sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} |p(t)|^2 dt$$

  Es decir, la variación en la salida del filtro adaptado se escala por la energía total de la forma de onda de pulso . La estadística de detección es entonces solo un proceso gaussiano con varianza . La probabilidad de una falsa alarma en un momento dado es igual a la probabilidad de que la estadística de detección supera el umbral . Usando las propiedades de la distribución gaussiana , podemos escribir esto como:$p(t)$$d(t)$$\sigma_d^2$$t$$T$

  $$\begin{align} P_{fa} &= P(d(t) > T\ | \text{ no signal present}) \\ &= 1 - F_d(T) \\ &= Q\left(\frac{T}{\sigma_d}\right) \end{align}$$

  donde es la función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución gaussiana y es la Q-función .$F_d(d)$$Q(x)$

• Probabilidad de detección: este caso difiere del caso de falsa alarma en que la señal de interés está presente. Específicamente, examinamos la situación en la que el filtro coincidente está perfectamente alineado con el pulso de interés. El mismo componente de ruido que analizamos previamente está presente, pero la autocorrelación de la forma de pulso deseada le da una media distinta de cero. Esta media es igual a la energía total de la forma de onda del pulso:

  $$\mathbb{E}\left(d(t)\right) = \int_{-\infty}^{\infty} |p(t)|^2 dt$$

  La probabilidad de detección, por lo tanto, es la probabilidad de que la estadística de detección exceda el umbral:

  $$\begin{align} P_{d} &= P(d(t) > T\ | \text{ signal present}) \\ &= 1 - F_d(T) \\ &= Q\left(\frac{T - m_d}{\sigma_d}\right) \end{align}$$

El proceso de diseño se vería así:

• Seleccione un rango de operación para su detector, definiendo una relación señal / ruido mínima (o equivalente, una varianza de ruido máxima ) en la que operará.$\sigma^2$

• Suponiendo las peores condiciones (es decir, el nivel de ruido máximo), seleccione un umbral que cumpla con su requerido o (lo que sea más importante para usted).$T$$P_d$$P_{fa}$

• Inserte el valor resultante para en la otra ecuación para determinar las métricas de rendimiento previstas.$T$

Este es un tratamiento del problema de bastante alto nivel, y si te pones a trabajar tratando de construir algo que funcione prácticamente, te encontrarás con otros detalles importantes:

• Una cosa que puede ser relevante para su problema de detección de sinusoides es que es probable que los pulsos recibidos estén en alguna fase de inicio desconocida en relación con la forma de pulso de su plantilla . Luego observará una reducción en el pico de correlación en función de la cantidad de desfase, lo que causará estragos en el rendimiento de su detector. Si ese es el caso, un detector no coherente es un mejor enfoque:$\phi$$p(t)$

  $$d_1(t) = x(t) * p(t)$$ $$d_2(t) = x(t) * p_Q(t)$$ $$d(t) = \sqrt{d_1^2(t) + d_2^2(t)}$$

  donde es una versión desplazada (o en cuadratura ) de 90 grados de la plantilla de pulso sinusoidal. Las estadísticas de este caso son ligeramente diferentes y se dejan como ejercicio para el lector interesado.$p_Q(t)$

• El tratamiento anterior supone que el pulso se recibe en al mismo nivel de potencia que la plantilla , que es casi seguro que no es cierto. Me vienen a la mente dos formas de abordar esta complicación: usar algún tipo de proceso de control automático de ganancia (AGC) para dirigir el nivel de potencia recibido a lo que esperaría, o puede hacer que un umbral adaptativo que se ajuste en relación con el señal observada (por ejemplo, podría intentar estimar la varianza del ruido de fondo y luego establecer adecuadamente).$x(t)$$p(t)$$T$$\sigma^2$$T$

Para obtener el "mejor" filtro, debe seguir algunos pasos

1. Determine el espectro de su señal: el espectro de un pulso senoidal en ventana viene dado básicamente por la función de ventana convolucionada con la portadora. Como la portadora es una onda sinusoidal, la convolución simplemente cambia el espectro de la ventana. Sin embargo, la forma de la ventana es importante: es coseno elevado, colocación, martilleo, kaiser, etc. Esto determina qué tan ancho es el ancho de banda y si hay lóbulos laterales fuertes que deben mantenerse.
2. Determine el espectro del ruido: eso es más fácil al observar el espectro en áreas de la señal donde solo hay ruido
3. Mira la señal y el espectro de ruido. Las frecuencias útiles son aquellas donde la energía de la señal es mayor que el ruido. Las frecuencias "malas" son aquellas donde el ruido es mayor.
4. Cree una especificación de filtro que pase las frecuencias "útiles" y "rechace" las malas. La cantidad de rechazo se puede optimizar utilizando un enfoque llamado "Filtro Wiener" http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_filter . En caso de apuro, un paso de banda también funcionará.
5. La especificación del filtro debe tener al menos frecuencia central, ancho de banda y pendiente de balanceo. Más coeficientes de filtro típicamente hacen que la banda de paso sea más plana y la caída más pronunciada. Una vez más, mirar un gráfico de señal a ruido generalmente le dirá qué rollo tiene sentido

La longitud del filtro FIR determinará la precisión del filtro FIR. El filtro FIR es una aproximación de la respuesta óptima del filtro (que usted debe decidir) y no debe estar vinculado a la duración del "pulso". Cuanto más largo sea el filtro FIR, más coeficientes tendrá, más exactamente la respuesta de magnitud del filtro se ajustará a sus especificaciones. Hay otros dos asuntos a considerar. Debe considerar la respuesta de fase porque eso puede distorsionar la forma del pulso demodulado. Es posible que ya esté haciendo esto, pero creo que probablemente desee que su filtro FIR tenga una fase lineal. Además, a medida que aumente la longitud del filtro FIR, agregará demora de entrada a salida, por lo que no desea simplemente disparar a la luna en términos de longitud del filtro. Entonces, en términos de longitud óptima,