De los libros de texto sabemos que la DTFT de viene dada por
Sin embargo, no he visto un libro de texto DSP que al menos pretenda dar una derivación más o menos sólida de .
Proakis [1] deriva la mitad derecha del lado derecho de al establecer en la de , y dice que es válido excepto (que por supuesto es correcto). Luego declara que en el polo de la tenemos que agregar un impulso delta con un área de , pero eso me parece más una receta que cualquier otra cosa.z = e j ω Z u [ n ] ω = 2 π k Z π
Oppenheim y Schafer [2] mencionan en este contexto
Aunque no es del todo sencillo de mostrar, esta secuencia se puede representar mediante la siguiente transformada de Fourier:
que es seguido por una fórmula equivalente a . Desafortunadamente, no se tomaron la molestia de mostrarnos esa prueba "no completamente sencilla".
Un libro que en realidad no conocía, pero que encontré al buscar una prueba de es Introducción al procesamiento de señales digitales y diseño de filtros de BA Shenoi. En la página 138 hay una "derivación" de , pero desafortunadamente está mal. Hice una pregunta de "DSP-puzzle" para que la gente muestre lo que está mal con esa prueba.]
Entonces mi pregunta es:
¿Alguien puede proporcionar una prueba / derivación de que sea sólida o incluso rigurosa mientras sea accesible para ingenieros con inclinaciones matemáticas? No importa si solo se ha copiado de un libro. Creo que sería bueno tenerlo en este sitio de todos modos.
Tenga en cuenta que incluso en matemáticas. SE puede encontrar casi nada relevante: esta pregunta no tiene respuestas, y una tiene dos respuestas, una de las cuales es incorrecta (idéntica al argumento de Shenoi), y la otra usa la "propiedad de acumulación" , con lo que estaría contento, pero luego hay que probar esa propiedad, lo que lo pone de nuevo al principio (porque ambas pruebas básicamente prueban lo mismo).
Como nota final, se me ocurrió algo así como una prueba (bueno, soy ingeniero), y también lo publicaré como respuesta algunos días a partir de ahora, pero me encantaría recopilar otras pruebas publicadas o no publicadas. que son simples y elegantes y, lo más importante, que son accesibles para los ingenieros de DSP.
PD: No dudo de la validez de , solo me gustaría ver una o varias pruebas relativamente sencillas.
[1] Proakis, JG y DG Manolakis, Procesamiento de señal digital: principios, algoritmos y aplicaciones , 3a edición, Sección 4.2.8
[2] Oppenheim, AV y RW Schafer, Procesamiento de señal de tiempo discreto , 2ª edición, p. 54)
Inspirado por un comentario de Marcus Müller, me gustaría mostrar que como lo da la ecuación. cumple el requisito
Si es la DTFT de , entonces
debe ser la DTFT de
(donde definimos ), porque
Entonces tenemos
de donde se deduce que
Con esto obtenemos
fuente
Respuestas:
Cedron Dawg publicó un punto inicial interesante en esta respuesta . Comienza con estos pasos:
Resulta que el término dentro del límite se puede expandir de la siguiente manera :
El factor común fuera de los corchetes se puede expresar como :
La parte real dentro de los corchetes también es igual a :
Por otro lado, la parte imaginaria se puede reescribir como :
Reescribiendo el término original obtenemos que:
donde utilicé y el límite tampoco se ve afectado como .M=N−1 M→∞
De acuerdo con la séptima definición en este sitio :
Hasta ahora tenemos eso:
Si pudiéramos demostrar que el segundo término a la derecha de la igualdad es en algún sentido, entonces hemos terminado. Lo pregunté en matemáticas. SE y, de hecho, esa secuencia de funciones tiende a la distribución cero. Entonces, tenemos eso:0
fuente
Proporcionaré dos pruebas relativamente simples que no requieren ningún conocimiento de la teoría de distribución. Para obtener una prueba que calcule la DTFT mediante un proceso de límite utilizando los resultados de la teoría de distribución, vea esta respuesta de Tendero .
Solo mencionaré (y no detallaré) la primera prueba aquí, porque la publiqué como respuesta a esta pregunta , cuyo propósito era mostrar que cierta prueba publicada es defectuosa.
fuente