¿Un integrador con fugas es lo mismo que un filtro de paso bajo?

La ecuación que rige un integrador con fugas (según Wikipedia al menos) es

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$.

¿Es un integrador con fugas de tiempo continuo lo mismo que un filtro de paso bajo con una constante de tiempo $A$ , hasta cierto escalado de la entrada?

Un llamado integrador con fugas es un filtro de primer orden con retroalimentación. Encontremos su función de transferencia, suponiendo que la entrada es $x(t)$ y la salida $y(t)$ :

$$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$$

donde denota la aplicación de la transformada de Laplace . Avanzando:$\mathcal{L}$

$$sY(s) + AY(s) = X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$$

(aprovechando la propiedad de la transformación de Laplace que , suponiendo quey(0)=0).$\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$$y(0) = 0$

Este sistema, con función de transferencia , tiene un único polo en s = - A . Recuerde que su respuesta de frecuencia en la frecuencia ω se puede encontrar dejando s = j ω :$H(s)$$s = -A$$\omega$$s=j\omega$

$$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$$

Para obtener una visión aproximada de esta respuesta, primero deje :$\omega \to 0$

$$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$$

Por lo tanto la ganancia de CC del sistema es inversamente proporcional al factor de retroalimentación . A continuación, deje w → ∞ :$A$$w \to \infty$

$$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$$

La respuesta de frecuencia del sistema por lo tanto va a cero para frecuencias altas. Esto sigue el prototipo aproximado de un filtro de paso bajo. Para responder a su otra pregunta con respecto a su constante de tiempo, vale la pena verificar la respuesta en el dominio del tiempo del sistema. Su respuesta al impulso se puede encontrar transformando inversamente la función de transferencia:

$$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$$

donde es la función de paso Heaviside . Esta es una transformación muy común que a menudo se puede encontrar en tablas de transformaciones de Laplace . Esta respuesta de impulso es una función de disminución exponencial , que generalmente se escribe en el siguiente formato:$u(t)$

$$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$$

donde se define como la constante de tiempo de la función. Entonces, en su ejemplo, la constante de tiempo del sistema es τ = 1$\tau$ .$\tau = \frac{1}{A}$

La respuesta de frecuencia es la misma, sí, pero la aplicación es diferente:

• Con un filtro de paso bajo, su señal está en la banda de paso. La frecuencia de corte del filtro se establece por encima de la frecuencia más alta que desea mantener en su señal.
• Con un integrador con fugas, su señal está en la banda de detención. La frecuencia de corte del filtro se establece por debajo de la frecuencia más baja en su señal.

Además, los integradores son siempre de primer orden, mientras que los filtros de paso bajo pueden ser de cualquier orden.