filtros IIR complementarios

Me gustaría un par de filtros IIR complementarios (paso bajo / paso alto). Por complementario, quiero decir, cuando se suma la salida de los dos filtros, se recupera la señal original. Pensé que podría construir tales pares con filtros de Butterworth, pero usando un poco de matemática, descubrí que solo los filtros de primer orden eran complementarios. Pensé que había hecho esto antes, pero me estoy olvidando de cómo.

¿Hay algo mal con mis matemáticas? ¿Hay una solución fácil de la que me estoy olvidando?

¡Gracias!

La respuesta de Juancho es correcta, sin embargo, hay un problema: el filtro complementario de un paso bajo generalmente NO es un filtro de paso alto, al menos no en el sentido que está buscando. Por ejemplo, el cumplido de un pase bajo Butterworth de cuarto orden no se parece en absoluto a un filtro de paso alto de cuarto orden. Tiene aproximadamente solo la mitad de la inclinación, alcanza una ganancia máxima de ca. +6 dB por debajo de la frecuencia de cruce y luego se acerca lentamente a la ganancia unitaria por encima de la frecuencia de cruce.

Los únicos filtros de paso alto y bajo coincidentes que suman la unidad son los filtros de primer orden. Sin embargo, puede encontrar filtros coincidentes de orden superior que sumen una ganancia unitaria, de modo que la función de transferencia general de la suma sea un filtro de paso completo. Estos son filtros Butterworth de orden impar e incluso filtros Linkwitz Riley de orden.

$H_2(e^{j\theta}) = 1 - H_1(e^{j\theta})$$h_2[n] = \delta[n] - h_1[n]$

$H_1(z)$$\frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$$H_2(z)$$\frac{(a_0 - b_0) + (a_1 - b_1) z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$

$H_2$$(a_0-b_0)$$(a_1 - b_1)$

Los coeficientes recursivos son los mismos para ambos filtros.