¿Diferencias entre filtrado y suavizado de regresión polinómica?

¿Cuáles son las diferencias entre el filtrado de paso bajo clásico (con un IIR o FIR) y el "suavizado" por regresión y / o interpolación polinómica localizada de grado N (en el caso de muestreo ascendente), específicamente en el caso de que N sea mayor que 1 pero menor que el número local de puntos utilizados en el ajuste de regresión.

Tanto el filtrado de paso bajo como el suavizado de regresión polinómica se pueden ver como aproximaciones de una función. Sin embargo, los medios para hacerlo son diferentes. La pregunta clave para hacer aquí es "¿Puedes hacer una en términos de la otra?" y la respuesta corta es "no siempre", por las razones que se explican a continuación.

Al suavizar mediante el filtrado, la operación de tecla es una convolución donde , que en el dominio de frecuencia se traduce en y = F - 1 ( F ( x ) F ( h ) ) donde F denota la transformada discreta de Fourier (y F - 1 la inversa). La transformada discreta de Fourier (por ejemplo, F ( x ) ) ofrece una aproximación de $y(n)=x(n)*h(n)$$y=F^{-1}(F(x)F(h))$$F$$F^{-1}$$F(x)$$x$como una suma de funciones trigonométricas. Cuando es un filtro de paso bajo, se retiene un número menor de componentes de baja frecuencia y los cambios abruptos en x se suavizan. Bajo pasar esta conjuntos de filtrado en el contexto de la aproximación de función mediante el uso de funciones trigonométricas como las funciones de base , pero vale la pena volver a visitar la fórmula convolución observar que cuando la filtración, y (n) (la salida del filtro) depende de x ( n ) así como una suma ponderada de muestras pasadas de x (la ponderación aquí determinada por la "forma" de h ). (consideraciones similares se mantienen para los filtros IIR, por supuesto, con la adición de valores pasados ​​de y $h$$x$$x(n)$$x$$h$ también)$y(n)$

Sin embargo, cuando se suaviza con algún polinomio de n grados , la salida del interpolante depende solo de y una mezcla de funciones de base (diferentes) (también llamadas monomios ). ¿Cuáles son estas diferentes funciones básicas? Es una constante ( a 0 x 0 ), una línea ( a 1 x ), una parábola ( a 2 x 2 ) y así sucesivamente (consulte esto para ver una buena ilustración). Por lo general, cuando se trata de muestras equidistantes en el tiempo y por razones relacionadas con la precisión, lo que se usa es la forma del polinomio de Newton$x(n)$$a_0x^0$$a_1x$$a_2x^2$. La razón por la que estoy citando esto es porque a través de eso es fácil ver que al realizar una interpolación lineal se podría construir un núcleo de filtro que devuelva una suma ponderada linealmente de muestras disponibles, de la misma manera que un polinomio de interpolación de bajo orden usaría "líneas" para interpolar entre dos muestras Pero en grados superiores, los dos métodos de aproximación arrojarían resultados diferentes (debido a las diferencias en las funciones básicas).

Como escribí anteriormente, no tener en cuenta los valores pasados ​​de no es estricto. Este es un punto sutil. Porque generalmente, cuando se construye un polinomio, los valores fuera del intervalo dado ("pasado" y "futuro" de una señal) no se consideran. Sin embargo, es posible incluirlos fijando las derivadas en los bordes del intervalo. Y si esto se hace repetidamente (como una ventana deslizante que no se superpone), entonces, efectivamente, se tomarían en cuenta las "muestras pasadas" de x (n). (Este es el truco que usan las splines y, de hecho, existe una expresión de convolución para la interpolación bicúbica . Sin embargo, tenga en cuenta aquí que la interpretación de x es diferente cuando se habla de splines$x(n)$$x$ -nota el punto sobre la normalización-)

La razón para usar el filtrado como interpolación algunas veces, por ejemplo, en el caso de la "Interpolación de Sinc", es porque también tiene sentido desde un punto de vista físico. La representación idealizada de un sistema de banda limitada (por ejemplo, un amplificador o lente (lineal) en un sistema óptico ) en el dominio del tiempo es el pulso sinc. La representación del dominio de frecuencia de un pulso sinc es un "pulso" rectangular$x^3$por ejemplo). Estoy hablando estrictamente de las restricciones impuestas por la interpolación cuando uno trata de "adivinar" valores objetivamente perdidos.

No existe un "mejor método" universal, depende en gran medida del problema de interpolación que enfrenta.

Espero que esto ayude.

PD (Los artefactos generados por cada uno de los dos métodos de aproximación también son diferentes, ver, por ejemplo, el fenómeno de Gibbs y el sobreajuste , aunque el sobreajuste está "al otro lado" de su pregunta).

Buena pregunta y respuestas esclarecedoras. Quería compartir algunas ideas de la siguiente manera. Existen bases polinomiales ortogonales también como las bases polinomiales de Legendre (en contraste con las bases monomiales) que son más estables en el ajuste de polinomios de mayor grado. Como las bases sinc utilizadas en la fórmula de interpolación de Shannon (que de hecho también puede verse como una operación de convolución y, por lo tanto, una operación de filtrado) son bases ortogonales para un espacio de Hilbert limitado en la banda, las bases polinomiales ortogonales pueden servir para aproximar una clase más grande de funciones que no están en la limitación de banda espacio junto con tener el poder de la ortogonalidad con ellos.

El filtrado polinómico (no la interpolación) también ha estado allí en la literatura de Química desde 1960. R.Schafer escribió una buena nota de lectura sobre la revisión de este tema, titulada What is Savitzky-Golay Filter, enlace: http: // www-inst. eecs.berkeley.edu/~ee123/fa12/docs/SGFilter.pdf