Considere un caso simple en el que dos señales de dos sensores diferentes tienen correlación cruzada y el retardo de tiempo de llegada se calcula a partir de la absisa del pico de su función de correlación cruzada.
Ahora supongamos además que, debido a las restricciones de dimensionalidad de ambas antenas y las restricciones sobre la tasa de muestreo máxima posible, el retraso máximo posible posible es , correspondiente a 10 muestras.
El problema:
Debido a esas restricciones, su retraso calculado puede variar de cualquier valor entero entre 0 y 10 muestras, es decir: . Esto es problemático porque lo que realmente quiero es la discriminación de retraso fraccional del retraso entre las dos señales que inciden en mis antenas, y cambiar las dimensiones o la frecuencia de muestreo no son una opción.
Algunos pensamientos:
Naturalmente, lo primero que pienso para este caso es el muestreo de las señales antes de realizar una correlación cruzada. Sin embargo, creo que esto es 'trampa' de alguna manera, porque realmente no estoy agregando ninguna información nueva al sistema.
No entiendo cómo el muestreo ascendente no es 'hacer trampa' en cierto sentido. Sí, estamos reconstruyendo nuestra señal en función de su información de frecuencia observada actualmente, pero ¿cómo da esto un conocimiento de dónde comenzó realmente una señal, por ejemplo, y ? ¿Dónde estaba esta información contenida en la señal original que determinaba que el verdadero inicio fraccionario de retardo de la señal estaba realmente en ?D = 8 D = 7.751
Las preguntas):
¿Es esto realmente "trampa"?
- Si no es así, ¿de dónde viene esta nueva 'información'?
- En caso afirmativo, ¿qué otras opciones están disponibles para estimar los tiempos de retraso fraccional?
Estoy al tanto de aumentar el resultado de la correlación cruzada, en un intento de obtener respuestas de submuestra a la demora, pero ¿no es esto también una forma de "trampa"? ¿Por qué es diferente del muestreo anterior a la correlación cruzada?
Si de hecho es el caso de que el muestreo ascendente no es 'trampa', entonces ¿por qué necesitaríamos aumentar nuestra tasa de muestreo? (¿Tener una frecuencia de muestreo más alta no siempre es mejor en cierto sentido que interpolar una señal de muestreo baja?)
Parecería entonces que podríamos simplemente tomar muestras a una tasa muy baja e interpolar todo lo que queramos. ¿Entonces esto no haría que el aumento de la frecuencia de muestreo sea 'inútil' a la luz de simplemente interpolar una señal al deseo de nuestro corazón? Me doy cuenta de que la interpolación lleva tiempo computacional y simplemente comenzar con una frecuencia de muestreo más alta no, pero ¿es esa la única razón?
Gracias.
Respuestas:
No es trampa, y tampoco agrega ninguna información nueva. Lo que está haciendo es lo mismo que cualquier LPF de muestreo ascendente: agregar ceros y luego reconstruir la forma de onda con la información de frecuencia ya conocida. Por lo tanto, no hay información nueva, pero todavía hay una resolución de tiempo más fina.
El muestreo ascendente del resultado es similar: no hay información nueva pero una resolución de tiempo más precisa. Puede hacer algo muy similar a través de la interpolación cuadrática .
Todos estos métodos (muestreo ascendente e interpolación polinomial) obtienen su información sobre dónde proviene el pico fraccional tanto del pico mismo como de sus vecinos. Un ejemplo pictórico rápido.
La línea azul en la imagen de arriba son mis datos simulados de correlación cruzada (aunque podría ser cualquier resultado, no solo una correlación cruzada). Es lo que yo llamo un pico "equilibrado" porque los vecinos son simétricos. Como es de esperar, la interpolación cuadrática resultante (línea roja) indica que el verdadero pico está en cero.
La imagen a continuación, por otro lado, muestra un pico desequilibrado. Tenga en cuenta que nada ha cambiado en el resultado, excepto los valores de los dos vecinos más cercanos. Sin embargo, esto hace que el interpolador cambie su estimación del pico fraccional.
Un beneficio adicional ingenioso de estos métodos (interpolación polinómica y muestreo ascendente) es que también le brinda una estimación del verdadero valor pico, aunque generalmente estamos más interesados en la ubicación.
Para satisfacer el criterio de Nyquist.
No. Desde un punto de vista teórico, siempre que se cumpla el criterio de Nyquist, no importa cuál sea la frecuencia de muestreo. Desde un punto de vista práctico, generalmente utiliza una frecuencia de muestreo lo más baja posible para reducir los requisitos de almacenamiento y la carga computacional, lo que a su vez reduce los recursos necesarios y el consumo de energía.
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Cualquier señal de banda limitada puede ser interpolada. La información adicional "entre las muestras" está contenida en las muestras adyacentes más el hecho de que la señal estaba limitada en banda antes del muestreo (que tiende a difundir información entre muestras adyacentes). Si dos señales tienen límite de banda, entonces será la correlación cruzada, por lo que la correlación cruzada también se puede interpolar. El muestreo ascendente es solo otra forma de interpolación, una forma muy precisa de interpolación para señales de banda limitada; pero también podría usar la interpolación de Sinc (las cuales pueden ser más precisas que la interpolación cuadrática o parabólica).
La interpolación puede mostrar un pico entre muestras. Por lo tanto, tal vez no sea inútil.
Si tiene una señal que contiene un espectro más amplio, puede contener más información. Por lo tanto, muestrearlo a una velocidad más alta proporcionará más información, pero solo hasta por debajo de la mitad de la nueva frecuencia límite de banda, y solo si la señal contiene contenido de frecuencia espectral útil real por encima del límite de banda anterior, y si ahora puede obtener esto adicional espectro mediante el uso de un nuevo proceso o filtro limitador de banda de banda más ancha, en lugar del antiguo más con pérdidas. El muestreo de datos a una frecuencia mucho más alta de una señal que ya estaba limitada en banda a una frecuencia mucho más baja por debajo de Fs / 2 solo le comprará interpolación, no más contenido de información.
Si el muestreo se cuantifica, el muestreo a una tasa más alta podría proporcionarle una fracción de un LSB más información, debido a la interpolación o al ruido del error de cuantificación. Pero esto depende de la relación S / N y la precisión de la muestra y el proceso de cuantificación exacto utilizado en el muestreo.
Si dos señales no están correctamente limitadas en la banda antes del muestreo y la correlación cruzada, entonces no solo el muestreo ascendente o la interpolación pueden comprarle un resultado basura, sino que también podría ser la correlación cruzada no interpolada original.
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Creo que la mejor respuesta que puedo darle es: tiene todos los medios para averiguarlo usted mismo. Construya un ejemplo "al revés". Con Matlab, comience con dos señales muestreadas con períodos de muestreo muy pequeños (de modo que sean señales de tiempo casi continuo). Calcule la correlación cruzada y encuentre el pico (si eso es lo que desea), que podrá hacer con alta precisión. Luego, reduzca la muestra de ambas señales y repita el proceso. Compare la ubicación y la altura del segundo pico con el primero. Estoy seguro de que el segundo será peor. La mejora del segundo al primero es lo que gana, si sube la muestra antes de la correlación cruzada.
Para aumentar la muestra de la manera correcta, ambas señales deben estar limitadas en la banda, y usted necesita conocer esos anchos de banda. La "nueva" información que menciona en su pregunta proviene de las muestras adyacentes, y el hecho de que las señales son limitadas en la banda.
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Para agregar un poco a las respuestas anteriores, puede obtener el equivalente de una correlación cruzada limitada de banda de muestreo superior al hacer que su variable de correlación sea no entera.
El siguiente código (python) calcula , dondeτ
Es decir, encuentra el máximo de la correlación cruzada.
Las variables de entradaf(n) g(n) n={0,1,...,N−1} N τ [−N+1,N−1]
a
yb
describen y para y se supone que ambas son limitadas de banda y periódicas con período (el cambio se implementa en el dominio discreto de Fourier). está en el rango .La intención es mostrar cómo se puede realizar la correlación cruzada para no entero , que se define por el cierre . Esto utiliza la matriz, que describe la rotación del fasor complejo en cada frecuencia discreta correspondiente a un cambio de tiempo . luego escala esto para cada turno. Debería ser evidente que para mantener una señal en tiempo real, las rotaciones de las frecuencias negativas son solo veces las rotaciones de las frecuencias positivas (para los pares de frecuencias correspondientes).τ τ=1 τ −1
correlate_point
omega
τ - 1La única sutileza está en cómo trata la muestra (la frecuencia de nyquist), ya que esta se comparte entre las bandas positivas y negativas. La solución utilizada aquí es interpolar entre el fasor de rotación positivo y el fasor de rotación negativo (que son reflejos en el eje real), que es proyectar cualquiera de los fasores de rotación de la unidad en el eje real, que es una función cos (esto es porque eso es el valor correspondiente a la frecuencia de nyquist). Claramente, este valor debe ser real para mantener una señal de dominio en tiempo real.N2
pi
omega
Puede usar esto para calcular la correlación cruzada para cualquier valor arbitrariamente preciso de . Simplemente llame al cierre (que puede devolverse como invocable) con el valor de desee.ττ τ
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Existe una prueba intuitiva de que el muestreo ascendente antes de la correlación cruzada es equivalente a hacerlo después:
La correlación cruzada es convolución con la otra señal invertida en el tiempo. La inversión de tiempo no afecta el ancho de banda. La convolución es la multiplicación en el dominio de la frecuencia, que tampoco aumenta el ancho de banda. Si las señales originales tienen una limitación de banda adecuada, a la mitad de la frecuencia de muestreo, entonces también lo será el resultado de la correlación cruzada. No se introducen alias para arruinar el resultado. La interpolación luego ahorra trabajo.
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