¿Qué es un AMDF?

Nunca he visto la palabra "Fórmula" con "AMDF". Mi comprensión de la definición de AMDF es

Q_{x} [k, n_{0}] ≜ \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} | x [n + n_{0}] - x [n + n_{0} + k] |

$Q_x[k,n_0] \triangleq \frac{1}{N} \sum\limits_{n=0}^{N-1} \Big| x[n+n_0] - x[n+n_0+k] \Big|$

$n_0$ es el vecindario de interés en . Tenga en cuenta que solo está resumiendo términos no negativos. Entonces . Llamamos a " " el "retraso" . claramente si , entonces . Además, si es periódica con el período (y supongamos por el momento que es un número entero) entonces y para cualquier número entero . $x[n]$ $Q_x[k,n_0] \ge 0$ $k$ $k=0$ $Q_x[0,n_0]=0$ $x[n]$ $P$ $P$ $Q_x[P,n_0]=0$ $Q_x[mP,n_0]=0$ $m$

Ahora, incluso si no es precisamente periódico, o si el período no es precisamente un número entero de muestras (a la frecuencia de muestreo particular que está utilizando), esperaríamos para cualquier retraso que está cerca del período o cualquier múltiplo entero del período. De hecho, si es casi periódica, pero el período no está en un número entero de muestras, esperamos poder interpolar entre los valores enteros de para obtener un mínimo aún más bajo. $x[n]$ $Q_x[k,n_0] \approx 0$ $k$ $x[n]$ $Q_x[k,n_0]$ $k$

Mi favorito no es el AMDF sino el "ASDF" (¿adivina qué significa la "S"?)

Q_{x} [k, n_{0}] ≜ \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} (x [n + n_{0}] - x [n + n_{0} + k])^{2}

$Q_x[k,n_0] \triangleq \frac{1}{N} \sum\limits_{n=0}^{N-1} \big( x[n+n_0] - x[n+n_0+k] \big)^2$

Resulta que puedes hacer cálculos con eso porque la función cuadrada tiene derivadas continuas, pero la función de valor absoluto no.

Aquí hay otra razón por la que me gusta ASDF mejor que AMDF. Si es muy grande y jugamos un poco rápido con los límites de la suma: $N$

\begin{aligned} Q_{x} [k] & = \frac{1}{N} (\sum_{n} (x [n] - x [n + k])^{2}) \\ = \frac{1}{N} (\sum_{n} (x [n])^{2} + \sum_{n} (x [n + k])^{2} - 2 \sum_{n} x [n] x [n + k]) \\ = \frac{1}{N} \sum_{n} (x [n])^{2} + \frac{1}{N} \sum_{n} (x [n + k])^{2} - \frac{2}{N} \sum_{n} x [n] x [n + k] \\ = \bar{x^{2} [n]} + \bar{x^{2} [n]} - 2 R_{x} [k] \\ = 2 (\bar{x^{2} [n]} - R_{x} [k]) \end{aligned}

$\begin{align} Q_x[k] & = \frac{1}{N} \left( \sum_n \big( x[n] - x[n+k] \big)^2 \right) \\ & = \frac{1}{N} \left( \sum_n (x[n])^2 + \sum_n (x[n+k])^2 - 2 \sum_n x[n] x[n+k] \right) \\ & = \frac{1}{N} \sum_n (x[n])^2 + \frac{1}{N}\sum_n (x[n+k])^2 - \frac{2}{N} \,\sum_n x[n] x[n+k] \\ & = \overline{x^2[n]} + \overline{x^2[n]} - 2\, R_x[k] \\ & = 2 \left( \overline{x^2[n]} - R_x[k] \right) \\ \end{align}$

dónde

\begin{aligned} R_{x} [k] & ≜ \frac{1}{N} \sum_{n} x [n] x [n + k] \\ = \bar{x^{2} [n]} - \frac{1}{2} Q_{x} [k] \\ = R_{x} [0] - \frac{1}{2} Q_{x} [k] \end{aligned}

$\begin{align} R_x[k] & \triangleq \frac{1}{N} \sum_n x[n] x[n+k] \\ & = \overline{x^2[n]} - \tfrac{1}{2} Q_x[k] \\ & = R_x[0] - \tfrac{1}{2} Q_x[k] \\ \end{align}$

normalmente se identifica como la "autocorrelación" de . $x[n]$

Por lo tanto, esperamos que la función de autocorrelación sea una réplica invertida (y compensada) del ASDF. Dondequiera que los picos de autocorrelación es donde el ASDF (y generalmente también el AMDF) tiene un mínimo.

robert bristow-johnson
fuente

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