¿Por qué la autocorrelación alcanza su pico en cero?

Respuestas:

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¿Estás buscando una prueba formal o la intuición detrás de esto? En el último caso: "Nada puede ser más similar a una función que sí mismo". La autocorrelación en el retraso mide la similitud entre una función f y la misma función desplazada por τ . Obsérvese que si f es periódica, f desplazado por cualquier múltiplo entero de τ y f coinciden, por lo que la autocorrelación tiene una forma de peine - con picos en los múltiplos enteros del período con la misma altura que el pico central.τfτffτf

pichenettes
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@JasonR Una señal de energía finita (que es lo que pregunta el OP ya que dice que la función de autocorrelación en el retraso cero es la energía) no puede ser periódica, por lo que la segunda mitad de esta respuesta no es aplicable a la pregunta del OP, pero se aplica a la función de autocorrelación periódica que se define para señales periódicas. En mi respuesta , he tratado de distinguir entre estos dos casos, y también he señalado que las funciones de autocorrelación de las señales periódicas pueden tener valles periódicos tan profundos como los picos periódicos.
Dilip Sarwate
@Dilip: Como siempre, buenos puntos.
Jason R
no es una prueba, ni siquiera cerca de una prueba. solo palabras que funcionan solo porque sabes la respuesta.
John Smith
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La función de autocorrelación de una señal aperiódica de energía finita de tiempo discreto viene dada por

Rx[n]=m=x[m]x[mn]    or   Rx[m]=m=x[m](x[mn])
para señales reales y señales complejas respectivamente. Restringiéndonos a señales reales para facilitar la exposición, consideremos la suma y x[m]x[mn] . Para el retraso fijo n una m dada , x[m]x[mn] típicamente tendrá un valor positivo o negativo. Si sucede que para un retraso particular n , x[m]x[mn] no es negativo para todosm , entonces todos los términos en la suma se sumarán (sin cancelación) y, por lo tanto , se garantiza queRx[n] tendrá un valor positivo. De hecho, la suma será mayor si todos los picos enx[mn] alinean con los picos enx[m] y los valles enx[mn] alinean con los valles enx[m] . Por ejemplo, six es una función sinc sobremuestreada, por ejemplo,
x[m]={sin(0.1πm)0.1πm,m0,1,m=0
con picos enm=0,±25,±45,y valles en ±15,±35,±55, x(t), luegoRx[n]tendrá máximosenn=0,±25,±45, (y por la misma razón, tendrámínimosenn=±15,±35,±55, cuando los picos se alineen con los valles). Elmundialmáximo deRx[n] es, obviamente, en el retardo n=0 cuando el pico más alto dex[m] yx[mn] coinciden. De hecho, esta conclusión se aplica no solo a esta señal sinc sino acualquierseñal. En el rezago n=0 , tenemos
Rx[0]=m=(x[m])2
y tenemos la garantía de que no solo todos los picos y valles están alineados entre sí (sin importar dónde ocurren en x[m] ) pero también que los picos más altos y los valles más profundos están alineados apropiadamente.

uv

|mu[m](v[m])|2m|u[m]|2n|v[m]|2.
m(u[m])2m(v[m])2mu[m]v[m]m(u[m])2m(v[m])2
λu=λvu[m]=λv[m] mλ>0λ<0EuEv
EuEvmu[m]v[m]EuEv
u[m]=x[m]v[m]=x[mn]n
m(x[m])2m(x[mn])2Rx[n]m(x[m])2m(x[mn])2
Eu=Ev=Ex
ExRx[n]Ex
x[m]=λx[mn]m
Ex=m(x[m])2=Rx[0]
n=0u[m]=x[m]v[m]=x[mn]=x[m0]=x[m]λ=1u[m]=λv[m]m
Rx[0]Rx[n]Rx[0]
Rx[n]n=0, todos los demás valores de autocorrelación son más pequeños que este pico.


x[m]Rx[n]

Rx[n]=m=0N1x[m](x[mn])
Nx[m]x[m]=x[mN]mRx[n]nRx[0]|Rx[n]|1<n<NRx[0]Rx[kN]=Rx[0]kRx[n]=Rx[0]n{1,2,,N1}n=N/2NN=2[1 1][2 2]Rx[n]2n02nNx[x,x]

Dilip Sarwate
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utilizando

(x[n]x[n+m])2=x2[n]+x2[n+m]2x[n]x[n+m]

uno puede demostrar fácilmente que

Rx[m]=n=x[n]x[n+m]=n=x2[n]12n=(x[n]x[n+m])2= Rx[0]12n=(x[n]x[n+m])2

Rx[0]Rx[m]Rx[0]m

robert bristow-johnson
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La única respuesta correcta aquí. muchas gracias, tuve problemas para derivarlo yo mismo.
John Smith