¿Por qué hay un exponente negativo presente en la transformada de Fourier y Laplace?

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¿podría alguien explicar por qué hay una necesidad de exponente negativo en la transformada de Fourier y Laplace? Miré a través de la web pero no pude obtener nada. ¿Sucede algo si se coloca un exponente positivo en estas transformaciones?

Mientras mira a través de http://1drv.ms/1tbV45S , dice que si se convierte en una función que disminuye rápidamente, mientras que si se convierte en una función que aumenta rápidamente de tI no podría entender eso. ¿Alguien puede ilustrar esto?s>0s<0

justin
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Respuestas:

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Matt tiene razón en que la señal es convencional. Sin embargo, creo que hay una razón para ello más allá de eso.

Si observamos frecuencias complejas en el plano complejo, se ven como vectores constantes que giran en una dirección u otra. Las frecuencias positivas giran en sentido antihorario, las negativas giran en sentido horario y las frecuencias "0 Hz" no giran en absoluto.

Frecuencia positiva

La transformada de Fourier tiene un signo negativo para rotar intencionalmente en la dirección opuesta a las frecuencias que están "buscando".

Frecuencia negativa

La razón de la rotación opuesta es que cuando los dos vectores de frecuencia se multiplican, sus fases se cancelarán repetidamente, por lo que cuando se sumen los resultados, habrá un vector masivo debido a la alineación de todos los vectores individuales.

X(f)=n=0N1x(n)ej2πkn/N

Vectores de frecuencia de Fourier

Así es como la transformada de Fourier "busca" frecuencias. Si las dos frecuencias son iguales o "cercanas" (lo cerca que necesitan estar depende de la longitud del DFT) se alinearán bien y causarán una respuesta masiva en la suma. He mostrado cómo funciona esto para la transformada discreta de Fourier (DFT), pero el mismo razonamiento se aplica exactamente a la transformación continua.

Esperemos que esto explique por qué la transformada de Fourier querría que los vectores giraran en la dirección opuesta. Para ser sincero, no sé si Laplace se transforma lo suficientemente bien como para dar un razonamiento sólido para su signo negativo. Sin embargo, dado que las dos transformaciones están estrechamente relacionadas (la transformación de Laplace es una generalización de la transformación de Fourier), supongo que es por razones similares.

Jim Clay
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Otra vista sería mirar la transformación inversa y afirmar que parece más natural componer una señal en una suma (o integral) de exponenciales complejos (con un signo positivo en el exponente). Pero de todos modos, no se produciría ningún cambio significativo si se cambiara la convención de signos.
Matt L.
@MattL. De acuerdo en ambos aspectos.
Jim Clay
@JimClay: La ilustración es buena. ¿Estás diciendo que dado que el producto de punto de los vectores incluye , si la rotación es opuesta, los vectores se sumarían? O si estás diciendo sobre productos cruzados. No podría entender qué quiso decir con 'rotación opuesta'. cosθ
justin
@justin No estoy seguro de dónde viene la que estás hablando. ¿Quizás está obteniendo eso de ? En cualquier caso, la segunda imagen pretende ilustrar el en el producto cruzado de la transformada de Fourier. Está girando en sentido horario en el plano complejo. En otras palabras, cada muestra tiene la misma fase que la muestra anterior, menos alguna fase constante. Las bajas frecuencias tienen pequeñas diferencias de fase, las altas frecuencias tienen grandes diferencias de fase. cosθejθ=cos(θ)+jsin(θ)ej2πkn/N
Jim Clay
@ JimClay: Pero en la transformación de Fourier, ¿estamos realmente "agregando" cada señal o "multiplicándolas"?
Justin
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Para la transformación de Fourier, el signo del exponente es pura convención. Tenga en cuenta que para la transformación inversa tiene un signo positivo en el exponente. También podría definir la transformación de Laplace con un signo positivo en el exponente. En cualquier caso, desea que la amortiguación exponencial de la función del dominio del tiempo se transforme, por lo que la parte real del exponente complejo debe ser negativa. Si cambia a entonces la región de convergencia de la transformación unilateral de Laplace cambiaría de a para alguna constante con valor real .ss{s}>a{s}<aa

Matt L.
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He actualizado la publicación. ¿Podrían mirarla?
justin
@justin: El integrando es f(t)est. Cons=σ+jω usted obtiene f(t)eσtejωt. porσ>0 obtienes amortiguación exponencial de f(t) (para t>0) De lo contrario, obtendría un factor exponencialmente creciente que podría hacer que la integral sea divergente.
Matt L.
podrías decir qué hace j,ω y σrepresentar en la variable s compleja para un análisis de señal.
justin
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@justin: yo solía j como la unidad imaginaria (como es habitual en EE, otras personas lo llaman i) Y desdes=σ+iω, σ es la parte real de sy ω es la parte imaginaria de s.
Matt L.
¿podría explicarlo utilizando caracteres de señal en lugar de un enfoque teórico?
justin
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Solo diría que la convención original es representar sinusoides complejos con un exponente positivo. entonces un voltaje "fasorial" sería

v(t)=Vejωt

(V es una constante compleja y |V| representa la magnitud del fasor y arg{V} representa la fase del fasor). Supongo que podríamos definir la convención como

v(t)=Vejωt

pero mi pregunta sería "¿por qué molestarse?"

¿Por qué un exponencial complejo? porqueestes una función propia (esencialmente la función propia) de los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI), a los que aplicamos transformaciones de Fourier y Laplace. cuandoest entra en un sistema LTI, algo veces est sale.

Los sistemas LTI pueden describirse completamente o tener su relación de entrada / salida completamente descrita por su respuesta al impulso h(t). esa descripción es convolución:

y(t)=h(τ)x(tτ) dτ

si la entrada es

x(t)=est

la salida es

y(t)=h(τ)x(tτ) dτ=h(τ)es(tτ) dτ=h(τ)esτ dτ  est=H(s) est=H(s) x(t)

entonces x(t)=est es una función propia y el valor propio, lo que escala la función propia en un sistema LTI es H(s) y directamente relacionado con h(t).

entonces el resto es todo sobre Fourier. entonces Fourier generaliza un poco, primero con un periódicox(t) que las posturas de Fourier que pueden representarse con sinusoides tienen el mismo período que x(t).

x(t+T)=x(t)t

x(t)=k=X[k] ej2πkTt

sigue siendo la convención original: define la señal como un fasor ejωt. queda el exponente positivo. X[k]son los "coeficientes de Fourier" .

entonces sabemos que la salida es

y(t)=k=H(j2πkT)X[k] ej2πkTt=k=Y[k] ej2πkTt

otra función periódica, que tiene el mismo período, pero con diferentes coeficientes de Fourier.

entonces positivo ω en el exponente

Entonces, ¿cuáles son esos coeficientes de Fourier?

0Tx(t)ej2πmTt dt=0Tx(t)ej2πmTt dt=0Tk=X[k]ej2πkTtej2πmTt dt=0Tk=X[k]ej2π(km)Tt dt=k=X[k]0Tej2π(km)Tt dt

para cada k en la suma donde km, la integral es cero, por lo que el término en la suma es cero.

0Tej2π(km)Tt dt={0,for kmT,for k=m

para el término único distinto de cero, cuando k=m, tenemos

0Tx(t)ej2πmTt dt=X[m]T

entonces

X[m]=1T 0Tx(t)ej2πmTt dt

de ahí viene el exponente negativo. necesitamos que ese exponente sea negativo para que solo elmth término en el resumen sobrevive (cuando k=m y ej2π(km)Tt=1), aislando así un solo X[m]entonces sabemos de qué se trata. de lo contrario sería elmth término sobrevivir y tendríamos que cambiar la convención en nuestra definición original de x(t).

esto sigue siendo esencialmente el caso, ya que la representación de la serie de Fourier se generaliza a no periódica x(t), donde la suma se convierte en una integral. porque definimos nuestra señal como una especie de suma integral de estas funciones propias exponenciales (con exponentes positivos):

x(t)=12πX(jω)ejωt dω

de nuevo, para obtener esos "coeficientes" de Fourier, necesitamos un exponente negativo:

X(jω)=x(t)ejωtdt

Laplace generaliza aún más al permitir ese valor puramente imaginario jω para ser un valor complejo más general, s=σ+jω. pero eso no cambia la convención de signos.

robert bristow-johnson
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podrías decir por qué estes una función propia?
Justin
Claro, ya lo había hecho. primero, la ecuación general de entrada / salida para un sistema LTI es la ecuación de convolución:
y(t)=h(τ)x(tτ) dτ
definir la entrada como
x(t)=est
luego conéctelo a la ecuación de convolución y vea qué sale y(t). ¿necesita que alguien le explique cómo se deriva la integral de convolución?
robert bristow-johnson
: Me gustaría saber si es solo para entrada est obtendríamos una salida en términos de est ¿Hay alguna otra función? Más específicamente, quiero saber por qué se hace hincapié en 'ext(x puede ser complejo o real) en la mayoría de las transformaciones como DFT, Laplace TRANFORM, transformada Z etc.
justin
creo que la forma exponencial, x(t)=est, es la única forma funcional de una función propia para sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). recuerda esos solo define, de manera general, la base de la exponencial desde est=(es)t=at, entonces cualquier función exponencial dettrabajos. No creo que ninguna otra forma general de función pase por la integral de convolución sin cambiar su forma. tal vez una serie de poder:
x(t)=n=0antn
Eso es todo.
robert bristow-johnson
2

El exponente negativo en la transformación directa es necesario e inevitable, porque los axiomas internos del producto para vectores complejos o funciones sin conjugación son inconsistentes.

Por ejemplo, el producto interno de un vector complejo consigo mismo no sería real y no negativo sin conjugación.

Patricio
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