Interpretación intuitiva de la transformada de Laplace

Así que estoy llegando a comprender las transformadas de Fourier. Intuitivamente ahora definitivamente entiendo lo que hace y pronto seguiré algunas clases de matemáticas (por lo que la asignatura real). Pero luego sigo leyendo sobre la transformación de Laplace y allí la pierdo. ¿Cuál es el momento de una señal? ¿Por qué la transformada de Fourier es un caso especial de la transformada de Laplace? ¿Cómo puedo hacer frente a la transformación de Laplace?

He mirado estas fuentes antes de hacer esta pregunta:

¿Qué se entiende por "respuesta de impulso" y "respuesta de frecuencia" de un sistema?

¿Cómo distinguir entre los diferentes dominios de frecuencia?

Amplitud vs respuesta de frecuencia

¿Por qué es tan importante la transformación de Fourier?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Si comprende las transformadas de Fourier, probablemente ya tenga un modelo conceptual de transformación de señales en el dominio de la frecuencia. La transformada de Laplace proporciona una representación de dominio de frecuencia alternativa de la señal, generalmente conocida como "dominio S" para diferenciarla de otras transformaciones de dominio de frecuencia (como la transformada Z, que es esencialmente un equivalente descretizado de la transformada de Laplace).

¿Cuál es el momento de una señal?

Como sin duda sabe, la transformada de Laplace nos da una descripción de una señal de sus momentos, de forma similar a cómo la transformada de Fourier nos da una descripción de fase y amplitudes.

Hablando en términos generales, un momento puede considerarse cómo una muestra diverge del valor medio de una señal: el primer momento es en realidad la media, el segundo es la varianza, etc. (estos se conocen colectivamente como "momentos de una distribución")

Dada nuestra función F (t), podemos calcular la enésima derivada en t = 0 para dar nuestro enésimo momento. Así como una señal puede describirse completamente usando fase y amplitud, puede describirse completamente por todas sus derivadas.

¿Por qué la transformada de Fourier es un caso especial de la transformada de Laplace?

Si nos fijamos en la transformación bilateral de Laplace:

Debería ser bastante evidente que una sustitución producirá la familiar ecuación de transformación de Fourier:$s=i\omega$

Hay algunas notas sobre esta relación ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform ) pero las matemáticas deberían ser bastante transparentes.

¿Por qué la transformada de Fourier es un caso especial de la transformada de Laplace?

La transformada de Laplace produce una superficie 2D de valores complejos, mientras que la transformada de Fourier produce una línea 1D de valores complejos. La transformación de Fourier es lo que obtienes cuando cortas la transformación de Laplace a lo largo del eje jω. Por ejemplo, un filtro de paso bajo simple tiene un solo polo en el plano S a la izquierda del origen:$H(s)=\frac{1}{s+1}$

Vista desde un lado, la magnitud de esta transformada de Laplace forma una superficie, con el polo actuando como un poste de la tienda que eleva la amplitud al infinito en ese punto (y un cero implícito en el infinito que baja la amplitud a cero cuanto más se aleja del origen que obtienes en cualquier dirección):

Si ahora toma el valor de la superficie solo a lo largo del eje j only, esa es la transformación de Fourier. Es la curva roja en la imagen de arriba, que puedes ver forma un filtro de paso bajo. Si moviera el poste más lejos del origen, la carpa se movería en la misma dirección, y el corte a lo largo del eje jω caería, reduciendo la ganancia (que compensamos agregando una ganancia general) y aumentando la frecuencia de corte. He tenido la intención de hacer algunas animaciones de cosas como esta ...

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

La mejor descripción intuitiva de la transformación de Laplace que he visto:

A primera vista, parece que la estrategia de la transformada de Laplace es la misma que la transformada de Fourier: correlacionar la señal del dominio del tiempo con un conjunto de funciones básicas para descomponer la forma de onda. ¡No es verdad! Aunque las matemáticas son muy parecidas, la lógica detrás de las dos técnicas es muy diferente.

La transformada de Laplace puede verse como una prueba de la respuesta al impulso del sistema con varias sinusoides que se exponen exponencialmente. Las formas de onda de sondeo que producen una cancelación se denominan polos y ceros.

Esto nos permite, en lugar de describir la respuesta de frecuencia para cada usar un pequeño conjunto de puntos de características que determinan el comportamiento de un sistema en todos los demás puntos (incluida la parte de -plane que es una respuesta de frecuencia).$\omega$$s$$s=j\omega$

Hay una buena analogía para esto en un libro:

Ahora, piense en cómo entiende la relación entre la elevación y la distancia a lo largo de la ruta del tren, en comparación con la del conductor. Como ha medido directamente la elevación en el camino, puede afirmar con razón que sabe todo sobre la relación. En comparación, el conductor conoce esta misma información completa, pero en una forma más simple e intuitiva: la ubicación de las colinas y los valles que causan los baches y jorobas a lo largo del camino. Si bien su descripción de la señal puede consistir en miles de mediciones individuales, la descripción del conductor de la señal contendrá solo unos pocos parámetros.