F (x) = 0 vs. || F (x) || ^ 2-> min

En muchas áreas de aplicación, uno necesita resolver un sistema no lineal de ecuaciones A veces, se usa la formulación ‖ F ( x ) ‖ 2 → min . Claramente, todas las soluciones x de F ( x ) = 0 es también una solución del segundo problema; lo contrario también es cierto (si existe una solución).

$$F(x) = 0.$$ $$\|F(x)\|^2 \to\min$$ $\hat{x}$$F(x)=0$

La pregunta es si uno puede decir a priori qué formulación es más adecuada para un problema dado. ¿La gente ha trabajado en esto antes?

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Un ejemplo

Considere la función Tiene las tres raíces x 1 = ( 1 , 0 ) (verde en la figura a continuación), x 2 = ( - 0.5 ,

$$F(x, y) = \begin{pmatrix} x^3 - 3x y^2 - 1\\ 3 x^2 y - y^3 \end{pmatrix}.$$ $x_1=(1,0)$(azul),x3=(-0,5,-$x_2=(-0.5,\sqrt{3}/2)$(rojo). Al aplicar el método de Newton aF, el punto de partida determinará a cuál de las tres soluciones convergemos.$x_3=(-0.5,-\sqrt{3}/2)$$F$

Cuanto más oscuro es el color, se requieren más iteraciones de Newton. Aparecen los fractales típicos de Newton .

Al encontrar puntos críticos , nuevamente con el método de Newton, la imagen es un poco diferente.$\nabla (\|F(x)\|^2) = 0$

$(0,0)$$\|F(x)\|^2$$F(x)=0$

$\min$

Usó buenos gráficos en la pregunta, pero creo que respondí la pregunta con bastante claridad en esta respuesta , que contiene otro ejemplo trabajado.

Para resumir, comenzamos con un problema de optimización que tenía una solución única que podíamos garantizar que encontraría un método. Reformulamos como un problema de búsqueda de raíz no lineal que tenía una solución única que podíamos identificar localmente, pero un método de búsqueda de raíz (como Newton) podría estancarse antes de llegar a él. Luego reformulamos el problema de búsqueda de raíz como un problema de optimización que tenía múltiples soluciones locales (no se puede usar una medida local para identificar que no estamos en el mínimo global).

En general, cada vez que convertimos un problema de optimización a rootfinding o viceversa, hacemos que los métodos disponibles y las garantías de convergencia asociadas sean más débiles. La mecánica real de los métodos a menudo es muy similar, por lo que es posible reutilizar una gran cantidad de código entre los solucionadores no lineales y la optimización.

Siéntase libre de refinar su pregunta si quería hacer algo más específico.