¿Puede la ecuación de advección con velocidad variable ser conservadora?

Estoy tratando de entender un poco mejor la ecuación de advección con coeficiente de velocidad variable. En particular, no entiendo cómo la ecuación puede ser conservadora.

La ecuación de advección ,

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$$

Interpretemos como la concentración de algunas especies físicas ( c m - 3 ) o alguna otra cantidad física que no se puede crear o destruir. Si integramos u ( x , t ) sobre nuestro dominio, entonces deberíamos ser constantes,$u(x,t)$$cm^{-3}$$u(x,t)$

$$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$$

(Esto es lo que quiero decir con ser conservador).

Si ahora dejamos que la velocidad sea una función del espacio (y el tiempo), , entonces la regla de la cadena debe aplicarse para dar,$\boldsymbol{v}(x,t)$

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$$

El término final "parece" como un término fuente y esto es lo que encuentro confuso. Aumentará o disminuirá la cantidad dependiendo de la divergencia del campo de velocidad.$u$

Después de esta pregunta , entiendo cómo imponer condiciones de límite de conservación. Sin embargo, para la ecuación de advección de velocidad variable , no entiendo cómo se pueden derivar las condiciones de límite de conservación debido al "término fuente" adicional que se introduce al aplicar la regla de la cadena. ¿Puede esta ecuación ser conservadora? Si es así, ¿cómo se pueden aplicar las condiciones de contorno correctas?

$\mathbf v u$

$$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$$

$\Omega = (a,b)$$u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

$$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$$

donde el término de la derecha es solo la diferencia de flujo entre los límites izquierdo y derecho.

$\mathbf v \cdot \nabla u$$\mathbf v$