Esquemas implícitos de diferencias finitas para la ecuación de advección

Existen numerosos esquemas FD para la ecuación de advección discutir en la web. Por ejemplo aquí: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html$\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

Pero no he visto a nadie proponer un esquema de viento "implícito" como este: .$\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

Todos los esquemas a favor del viento que he visto estaban relacionados con datos sobre el paso de tiempo anterior en la derivada espacial. ¿Cuál es la razón para eso? ¿Cómo se compara el esquema clásico de viento arriba con el que escribí anteriormente?

Es bastante común en la dinámica de fluidos computacional usar esquemas implícitos similares a lo que usted propone. Los que conozco se basan en fórmulas compactas de diferencias finitas (no simplemente en reemplazar con n + $n$$n+1$ en esquemas existentes). Por ejemplo, uno de los esquemas más utilizados fue desarrollado por Lele en 1992 en este documento con> 2500 citas. Se puede hacer que tales esquemas tengan mejores propiedades dispersivas que los esquemas explícitos típicos.

La corriente ascendente suele ser menos importante cuando se usan métodos implícitos y tamaños de paso de tiempo grandes, porque la gran cantidad de difusión (mencionada por Jeremy) significa que no puede resolver los choques de todos modos.

Con respecto al esquema particular que propone:

• Se puede obtener a partir de una discretización de método de líneas utilizando una diferencia hacia atrás en el espacio y el método de Euler hacia atrás (implícito) en el tiempo.
• $u\ge0$$u<0$
• Es más disipativo que el esquema de viento en contra explícito tradicional.
• $\tau u/h = 1$$\tau u/h = -1$

No hay razón para que no puedas hacer lo que escribiste. Una de las razones por las que esto es poco común es que, para los problemas de tipo hiperbólico (advección), el dominio de dependencia es finito. Por lo tanto, un método explícito tiene sentido desde el punto de vista de la eficiencia computacional.

El esquema implícito que ha escrito requerirá resolver un sistema lineal, aunque en el caso de que haya escrito triangular y, por lo tanto, sea bastante simple de resolver. Por supuesto, cuando va a sistemas y dimensiones múltiples, es probable que el sistema no sea triangular, aunque a veces esto puede resultar en un orden adecuado de sus incógnitas (ver por ejemplo Kwok y Tchelepi, JCP 2007 y Gustafsson y Khalighi, JSC, 2006 )

A veces, con la esperanza de dar pasos largos, la gente usará pasos implícitos como usted ha escrito, pero debe tener cuidado aquí. Cuando utilice un método implícito, introducirá una gran cantidad de difusión, por lo que difuminará significativamente su solución.