Cómo imponer condiciones de contorno en métodos de diferencias finitas

Tengo un problema cuando quiero usar la aproximación de diferencia de centro de orden superior:

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

para la ecuación de Poisson

en un dominio cuadrado en el que las condiciones de contorno son:

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

Cuando quiero obtener el valor de los puntos internos de dominio, considerando esta aproximación, algunos puntos dependen de los puntos externos de límite. Por ejemplo, necesita tener el valor de un punto que está fuera del límite. ¿Alguien puede ayudarme en este caso? $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference liona
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Supongo que está utilizando condiciones límite de dirichlet, ¿correcto?

Paul

Indique las condiciones de contorno que le gustaría imponer.

David Ketcheson

Tal vez la clave está en el uso de condiciones de contorno para obtener restricciones que involucren esos valores. No puedo expandirme porque nunca he intentado resolver numéricamente un PDE, pero esta idea funciona para las EDO. ¿Alguien puede confirmar esto?

astrojuanlu

Con los métodos de alto orden, puede ser difícil garantizar la estabilidad del método al llenar las células fantasmas de esta manera. Dicho esto, los problemas elípticos suelen ser más indulgentes con mi experiencia, por lo que es posible que pueda salirse con la suya.

Jeremy Kozdon

Liona, puedes editar tu pregunta y agregar las condiciones de contorno allí, lo cual es mucho mejor que ponerlas en los comentarios.

David Ketcheson

Respuestas:

Es posible que desee analizar los métodos de suma finita por partes (SBP) de diferencias finitas. Ken Mattsson ha trabajado mucho en estos métodos. Un buen lugar para comenzar es aquí (coeficientes constantes) y aquí (coeficientes variables).

Básicamente, la forma en que funcionan estos métodos es que son los métodos centrales estándar en el interior y la transición a un lado cerca del límite. Una parte importante de la tecnología SBP es que la transición a un solo lado es tal que la estabilidad del método para problemas dependientes del tiempo puede demostrarse incluso después de la inclusión de condiciones límite. (Esto es posible porque los operadores mismos "definen" una norma, que imita discretamente la integración por partes).

Dices que estás viendo la ecuación de Poisson, no estoy totalmente seguro de cómo las condiciones de contorno se incluyen de manera estable con los operadores SBP y las ecuaciones elípticas. Tengo un colega que ha jugado con estos problemas elípticos y parece indicar que realmente no importa lo que hagas.

Jeremy Kozdon
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Hay otras plantillas que puede usar para obtener una precisión de orden alta cerca de los puntos límite. Su plantilla actual tiene la forma:

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

Pero, también puede usar una plantilla diferente cerca del límite de esta manera:

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

$u_{1,1}$

Del mismo modo, puede aproximar el valor en el límite opuesto mediante una fórmula similar.

Paul
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Gracias por su respuesta, sin embargo, cómo puedo calcular el valor en

u_{1, 1}

$u_{1,1}$ cuando uso solo un tipo de método de aproximación de diferencia? (es decir, ¿puede ser correcto que se utilicen diferentes tipos de aproximación en diferentes lugares?)

liona

¿Cómo puedo obtener los coeficientes?

liona

Para entender cómo derivar fórmulas de diferencias finitas, una buena referencia es el Capítulo 1 del libro de Leveque: faculty.washington.edu/rjl/fdmbook . Es una serie de Taylor y un poco de álgebra.

David Ketcheson

@liona: Sí, puede usar diferentes fórmulas de aproximación en diferentes lugares ... En general, es más importante asegurarse de que todas sus fórmulas se adhieran al orden de truncamiento que desee. Es decir, si desea que su solución numérica sea de orden

O (h^{2})

$O(h^2)$ , entonces todas sus aproximaciones de diferencias finitas también deben tener un error de truncamiento de

O (h^{2})

$O(h^2)$

Paul

@liona: El libro al que se refiere David Ketcheson es uno de los mejores libros sobre el tema del método de diferencias finitas (en mi sincera opinión). Como él dice, simplemente necesitamos sumar las expansiones de Taylor para las expresiones

A U (x + h)

$AU(x+h)$ ,

B U (x)

$BU(x)$ ,

C U (x - h)

$CU(x-h)$ ,

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$ y

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$ . Luego, asegúrese de que todos los coeficientes de los segundos términos derivados

U_{x x}

$U_{xx}$ sum to 1, and as many other terms as possible sum to zero.

Paul

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david

david
fuente

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Doug Lipinski

Revise su respuesta para incluir un resumen de los antecedentes que considere necesarios para responder la pregunta. Las respuestas están destinadas a ser relativamente independientes; recomendar a un lector que busque el trabajo de uno no es autónomo y es mucho menos útil que proporcionar un resumen de su contenido.

Geoff Oxberry