¿Existen enfoques de división de operadores para PDE multifísica que logran una convergencia de alto orden?

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Dada una evolución PDE

tut=UNtu+situ

donde son operadores diferenciales (posiblemente no lineales) que no conmutan, un enfoque numérico común es alternar entre resolverUN,si

tut=UNtu

y

tut=situ.

La implementación más simple de esto se conoce como división de Godunov y es precisa de primer orden. Otro enfoque bien conocido, conocido como división de Strang, es la precisión de segundo orden. ¿Existen métodos de división de operadores de orden superior (o enfoques alternativos de discretización multifísica)?

pde multiphysics operator-splitting David Ketcheson
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¿Son los términos rígidos o no rígidos? ¿Tiene una función que aplica A y B, o solo tiene un algoritmo que avanza el estado de a t n + 1 ? En el caso de que uno sea rígido y otro no rígido, existen muchos métodos interesantes. tnortetnorte+1
Jed Brown

Respuestas:

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Entendí que la fórmula BCH era una forma sistemática de aproximar la matriz exponencial de dos matrices no conmutativas.

Matt Knepley
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¿Pero eso no lleva a términos complejos incluso cuando el PDE es real? ¿La gente lo usa para una discretización superior al segundo orden?
David Ketcheson el
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No de mi memoria (o de la página web). Conduce a muchos conmutadores. En muchos cuerpos cuánticos, hay buenas maneras de simplificar estas expresiones.
Matt Knepley
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Si considera los operadores generales A y B y solo desea realizar pasos de tiempo positivos (que es lo que generalmente requiere al resolver problemas parabólicos), existe una barrera de orden de 2, es decir, al usar cualquier tipo de división, no puede obtener Una tasa de convergencia superior a dos. Una prueba elemental se da en un artículo reciente de S. Blanes y F. Casas, http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf .

Sin embargo, hay varias salidas si conoce un poco más sobre su problema:

  • Suponga que puede resolver sus ecuaciones hacia atrás en el tiempo (lo cual es común, por ejemplo, para las ecuaciones de Schrödinger), luego hay muchas divisiones disponibles, vea el libro "Integración numérica geométrica" ​​de Hairer, Lubich y Wanner.
  • Si sus operadores generan semigrupos analíticos, es decir, puede insertar valores complejos para t (típico para ecuaciones parabólicas), se observó recientemente que puede obtener divisiones de orden superior yendo al plano complejo. Los primeros artículos en esa dirección son de E. Hansen y A. Ostermann, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf , y F. Castella, P. Chartier , S. Descombes y G. Vilmart. La elección de divisiones complejas que son "óptimas" en algún sentido es un tema de investigación actual, puede encontrar varios documentos sobre el tema en arxiv.

Resumiendo: si pone algunas suposiciones sobre su problema, puede obtener algo, pero si no, entonces el orden 2 es el máximo.

PD: Tuve que sacar el enlace al documento de Castella et al debido a la prevención de spam, pero puede encontrarlo fácilmente en google.

Philipp Dörsek
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El grupo CCSE en LBNL ha utilizado recientemente métodos de corrección espectral diferida (SDC) en un flujo de bajo número de máquinas con química compleja. Comparan los resultados de SDC con la división de Strang, y los resultados son muy prometedores.

Aquí hay un borrador del documento con los detalles: una estrategia de acoplamiento de corrección diferida para un flujo de números bajo de Mach con química compleja

Tenga en cuenta que el esquema SDC es un esquema iterativo que converge a una solución de colocación precisa de alto orden, pero está construido a partir de métodos de primer orden.

Matthew Emmett
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El error de división puede, al menos en principio, reducirse mediante métodos de corrección espectral diferida. Sin embargo, esto parece ser un área de investigación activa y no realmente algo listo para uso general.

Brian
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