¿Dónde puedo encontrar una buena referencia para las propiedades de estabilidad de varios métodos de resolución de PDE parabólicas?

En este momento tengo un código que usa el algoritmo de Crank-Nicholson, pero creo que me gustaría pasar a un algoritmo de orden superior para pasar el tiempo. Sé que el algoritmo de Crank-Nicholson es estable en el dominio en el que quiero trabajar, pero me preocupa que otros algoritmos no lo sean.

Sé cómo calcular la región de estabilidad de un algoritmo, pero puede ser una molestia. ¿Alguien sabe de alguna buena referencia para las propiedades de estabilidad de un gran número de algoritmos de paso temporal para PDE parabólicas?

Mi favorito personal es el libro de John Strikwerda, "Esquemas de diferencias finitas y ecuaciones diferenciales parciales" .

Tiene un trato muy agradable de la teoría de la estabilidad utilizando el análisis de Fourier. Solo tengo la primera edición, donde no introduce la idea de una región de estabilidad. Según el sitio web de SIAM, la segunda edición ha agregado este material.

Respuesta muy breve: para una referencia completa, no puedes vencer a Hairer y Wanner volumen II .

Respuesta corta: Aquí hay algunos scripts de MATLAB para trazar la región de estabilidad de un método lineal de varios pasos o Runge-Kutta , dados los coeficientes. También podría usar el paquete Python nodepy (descargo de responsabilidad: es mi paquete y no es el software más pulido, pero trazar regiones de estabilidad es una cosa que hace muy bien). Las instrucciones para trazar regiones de estabilidad están aquí .

Respuesta más larga: hay tres clases de métodos que podrían interesarle aquí.

• $A$$A$-estabilidad. Algunos ejemplos de tales métodos son los métodos Gauss-Legendre, Radau y Lobatto. Todos estos son totalmente implícitos y, por lo tanto, bastante caros.

• $A(\alpha)$ode15s()$\alpha$

• Métodos explícitos , que necesariamente incluirán solo un intervalo finito en el eje real negativo. Existen métodos explícitos especiales "estabilizados" (en particular, los métodos Runge-Kutta-Chebyshev ) que tienen grandes regiones negativas de estabilidad del eje real y son adecuados para problemas levemente rígidos, pero generalmente no para problemas parabólicos. Una buena entrada a esa literatura es este documento , que incluye mucha información sobre las regiones de estabilidad.

$L$$L$

Actualización : si realmente necesita saber todo sobre este tema, obtenga una copia de la monografía de Dekker y Verwer . Tiene una de las mejores introducciones existentes a conceptos como las constantes de Lipschitz unilaterales, la norma logarítmica y varios conceptos de estabilidad más profundos. Está agotado, pero generalmente puede encontrar copias usadas en Amazon (¡por un precio!)