normas

Estoy leyendo un libro sobre métodos numéricos y el cuadrado de la norma discreta $L^2$ se define como

$$||x||^2_2=h\sum_1^Nx^2_i$$ Cada punto obtiene un "peso", que es $h$ , por lo tanto, es como un promedio sobre los cuadrados de los valores en todos los puntos. De hecho, esto proviene de la aproximación de una integral continua. Por otro lado, ¿puedo definir una norma similar donde la cuadrícula no es uniforme con un espaciado $h_i$ como $$||x||^2_2=\sum_1^Nh_ix^2_i$$ eso me parece natural, ya que también podría aproximarme a una integral continua de esta manera, pero como no veo que en los libros sospeche que me estoy perdiendo algo. Entonces, si tengo una cuadrícula no uniforme y quiero hacer algunas estimaciones en esta norma, ¿cómo se debe definir?

Tiene toda la razón: la norma se define de tal manera que la norma discreta (vector) es igual (o al menos se aproxima) a la norma continua de una función correspondiente.

$h_i$

$h^2$$h^3$

$f(x)$$x \in (a,b)$$L^2$

$$\begin{equation} \lVert f \rVert_2^2 = \int_a^b \lvert f(x)\rvert^2 \, dx. \end{equation}$$ $\mathbf f \equiv \{ f_i = f(x_i), \; i=0\dots N\}$$x_i = a + i \frac{b-a}{N}$ $L^2$

$$\begin{align} \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}}^2 &= h \sum_{i=0}^N \lvert f_i \rvert^2, &h = \frac{b-a}{N} \end{align}$$ En tu pregunta, asumes que esto se hace porque queremos que y estás interpretando la norma discreta como una especie de regla de cuadratura, y te preguntas por qué para las cuadrículas no uniformes no se usa una fórmula mejor. $$\begin{equation} \lim_{h \rightarrow 0} \: \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}} = \lVert f \rVert_2 \end{equation}$$

Esta interpretación no es incorrecta, pero no es la única posible. Como ingeniero que trabaja con cantidades físicas, en lugar de números puros, prefiero pensar en la norma discreta como en una norma euclidiana escalada de tal manera que sea dimensionalmente homogénea a la norma . Entonces, si podemos demostrar que , podemos esperar que . Sin el factor de escala, esto no sería cierto.$\ell^2$$L^2$$\lVert f - f^h \rVert_2 \rightarrow 0$$\lVert \mathbf f -\mathbf f^h\rVert_{2,\text{d}} \rightarrow 0$

EDITAR:

Borré mis conclusiones aquí. Ver la respuesta de Wolfgang.

Tenga en cuenta que la norma euclidiana escalada es fácil de calcular, mientras que su propuesta es un poco imprecisa (puede generar algunas preocupaciones como una fórmula en cuadratura) y costosa de calcular.

En pocas palabras : la forma discreta no es (no es necesario que sea) y la aproximación a la continua, sino que simplemente puede interpretarse como una norma escalada -euclidiana, dimensionalmente consistente con la norma continua . $L^2$$\ell^2$$L^2$