¿Qué discretizaciones espaciales funcionan para el flujo incompresible con mallas límite anisotrópicas?

Los altos flujos de números de Reynolds producen capas límite muy delgadas. Si se usa la resolución de pared en la simulación de Eddy grande, la relación de aspecto puede ser del orden de $10^6$ . Muchos métodos se vuelven inestables en este régimen porque la constante inf-sup se degrada como la raíz cuadrada de la relación de aspecto o peor. La constante inf-sup es importante porque afecta el número de condición del sistema lineal y las propiedades de aproximación de la solución discreta. En particular, los siguientes límites a priori en la retención de errores discretos (Brezzi y Fortin 1991)

$$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$$

donde $\mu$ es la viscosidad dinámica y $\beta$ es la constante inf-sup. A partir de esto, vemos que como $\beta \to 0$ , las aproximaciones de velocidad y (especialmente) de presión se vuelven peores que las mejores disponibles en el espacio de elementos finitos (es decir, la constante de la optimización de Galerkin crece a medida que $\beta^{-1}$ y $\beta^{-2}$ respectivamente).

¿Qué métodos tienen una estabilidad uniforme inf-sup independiente de la relación de aspecto?

¿Cuál de estos se puede usar con mallas no estructuradas?

¿Cómo se generalizan las estimaciones a aproximaciones de alto orden?

Los esquemas de diferencias finitas de MAC (Harlow y Welch 1965) son uniformemente estables, pero requieren cuadrículas estructuradas suaves y solo son precisas de segundo orden.

Se prefieren los métodos de elementos finitos para los métodos no estructurados y de alto orden. Para los métodos continuos de elementos finitos de Galerkin, no hay espacios conocidos que tengan propiedades de aproximación óptimas y sean uniformemente estables.

• $Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ tiene propiedades de aproximación óptimas y es localmente conservador, pero la constante inf-sup se degrada como la raíz cuadrada de la relación de aspecto. Ver Bernardi y Maday 1999 para más detalles.

• $Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ tiene una constante inf-sup independiente de la relación de aspecto y es localmente conservadora, pero la constante inf-sup se escala como medida que aumenta el orden polinómico (Maday et al. 1992) en mallas de forma regular. En mallas con nodos colgantes o esquinas reentrantes, este límite es nítido en 2D (Schoetzau et al 1998), pero se degrada aún más a en 3D (Toselli y Schwab 2003).$\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$$k^{-3/2}$

• El elemento no conforme rotado de Rannacher & Turek 1994 es uniformemente estable, tiene propiedades de aproximación óptimas y es localmente conservador, pero no satisface una desigualdad discreta de Korn, por lo que necesita correcciones de límites para algunas condiciones de límite y no puede usarse para Flujos de viscosidad variable. El trabajo posterior de los autores ha tenido como objetivo estabilizar estos métodos utilizando flujos de borde, pero las discretizaciones resultantes pierden muchas de las propiedades de eficiencia atractivas.$Q_1-P_0$

• Ainsworth y Coggins 2000 construyen espacios altamente técnicos que funcionan un poco mejor, pero parecen ser de utilidad limitada.

Para Galerkin discontinuo, la imagen es algo mejor:

• El espacio discontinuo es uniformemente estable y tiene propiedades de aproximación óptimas (Schoetzau, Schwab y Toselli 2004). Esta combinación no está disponible con espacios de velocidad continua. La constante inf-sup todavía depende del grado polinómico, sin embargo, escala como .$Q_k-Q_{k-1}$$k^{-3/2}$