Transformada de Fourier para la condición límite de Neumann

Necesito resolver el sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales acopladas numéricamente.

\begin{aligned} \frac{\partial x_{1}}{\partial t} & = c_{1} \nabla^{2} x_{1} + f_{1} (x_{1}, x_{2}) \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial t} & = c_{2} \nabla^{2} x_{2} + K \frac{\partial x_{1}}{\partial t} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial x_1}{\partial t} &= c_1\nabla ^2 x_1 + f_1(x_1,x_2)\\ \frac{\partial x_2}{\partial t} &= c_2\nabla ^2 x_2 + K\frac{\partial x_1}{\partial t} \end{align}$

El dominio del sistema es una región cuadrada.

Condición límite:

\begin{aligned} x & = constant ⟹ \frac{\partial x_{1}}{\partial x} = \frac{\partial x_{2}}{\partial x} = 0 \\ y & = constant ⟹ \frac{\partial x_{1}}{\partial y} = \frac{\partial x_{2}}{\partial y} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} x &= \text{constant} \implies \frac{\partial x_1}{\partial x} = \frac{\partial x_2}{\partial x} = 0\\ y &= \text{constant} \implies \frac{\partial x_1}{\partial y} = \frac{\partial x_2}{\partial y} = 0 \end{align}$

Traté de resolver este sistema con la transformada de Fourier. La solución se vuelve inestable después de algunas iteraciones. He resuelto este sistema anteriormente con un esquema de diferencias finitas y funcionó bien, así que sé que las constantes del sistema están perfectamente bien.

Mi pregunta es ¿se puede usar la transformada de Fourier para resolver estas ecuaciones?
Leí en alguna parte que debido a la condición de frontera de Neumann no se puede aplicar la transformada de Fourier. ¿Es esto correcto?
En caso afirmativo, ¿cuál es la alternativa? (He leído que se debe usar la transformación de coseno pero quiero confirmar).

pde fourier-analysis chatur
fuente

¿Cómo define ? ¿Es una función periódica?

f_{1} (x_{1}, x_{2})

$f_1(x_1,x_2)$

f_{1}

$f_1$

ucsky

f_{1} (x_{1}, x_{2}) = P (x_{1}) a r c t a n (x_{2})

$f_1(x_1,x_2) = P(x_1)arctan(x_2)$ , donde P (x) es un polinomio.

chatur

Quizás la inestabilidad numérica provenga de la función . Si no es igual a cero en el límite del dominio, puede dar un salto en la condición de límite al reconstruir la señal periódica.

f_{1}

$f_1$

P

$P$

ucsky

@aberration, gracias por comentar pero no entiendo lo que significa. Probablemente debería estudiar FFT más a fondo. Pero si estoy resolviendo el sistema en todos los cambios se limitan solo a la parte central (aproximadamente) para que los valores en el límite no se vean afectados, ¿puedo usar FFT aquí?

chatur

Bueno, tal vez lo que dije está mal, creo que puede funcionar con alguna función suave pero de todos modos, probablemente dará una solución incorrecta porque el proceso de límite cercano no se resolverá correctamente. Como dijiste, probablemente necesites usar modos coseno o modos Chebyshev. Si realmente desea utilizar la transformación de Fourier, puede utilizar algún tipo de método de penalización.

f_{1}

$f_1$

ucsky

El FFT puede usarse para condiciones de contorno periódicas. Debido a que las condiciones de contorno de von Neumann son efectivamente condiciones de límite "espejo", debe hacer una "continuación reflejada", antes de poder aplicar una FFT. Un inconveniente de este enfoque es que aumentará el volumen de datos en un factor 4 (que no es importante si solo está interesado en experimentar un poco). El uso de la transformada del coseno hace implícitamente la "continuación reflejada" y evita la sobrecarga del factor 4.

Tenga en cuenta que dependiendo de dónde se encuentren los puntos de la cuadrícula cerca del límite, hay dos formas diferentes de hacer una "continuación reflejada discreta". Por lo tanto, encontrará que las bibliotecas como FFTW ofrecen diferentes variantes de la transformada del coseno (correspondiente a estas diferentes "continuas duplicadas discretas").

Thomas Klimpel
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Transformada de Fourier para la condición límite de Neumann

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