Soluciones fuertes versus débiles de PDEs

Veamos el caso más simple de la ecuación de Poisson en un dominio junto con condiciones de Dirichlet homogéneas en el límite de . Asumimos por ahora que es tan suave como queremos (por ejemplo, puede ser parametrizado por una función ); esto será importante más adelante.

\begin{matrix} (1) & - Δ u = f \end{matrix}

$-\Delta u = f \tag{1}$

Ω \subset R^{n}

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$

\begin{matrix} (2) & u |_{\partial Ω} = 0 \end{matrix}

$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$

\partial Ω

$\partial\Omega$

Ω

$\Omega$

\partial Ω

$\partial\Omega$

C^{\infty}

$C^\infty$

La pregunta ahora es cómo interpretar el PDE puramente formal) . Por lo general, esto se responde en términos de cómo interpretar la derivada , pero para nuestro propósito es mejor centrarnos en cómo interpretar la ecuación . $(1)$ $\Delta$

Se supone que el PDE tiene pointwise por cada . Para que esto tenga sentido, el lado derecho debe ser continuo, de lo contrario no podemos hablar de valores puntuales . Esto significa que las segundas derivadas (clásicas) de la solución deben ser continuas, es decir, tenemos que buscar . Una función que satisface junto con la condición límite puntual se llama solución clásica (a veces, desafortunadamente, también solución fuerte ). $(1)$ $x\in\Omega$ $f$ $f(x)$ $u$ $u\in C^2(\Omega)$

$u\in C^2(\Omega)$ $(1)$ $(2)$
El requisito de que sea continuo es demasiado restrictivo para aplicaciones prácticas. Si solo suponemos que tiene punta puntiaguda para casi cada (es decir, en todas partes, excepto para los conjuntos de Lebesgue, medida cero), entonces podemos salir con . Esto significa que las segundas derivadas son funciones en , lo que tiene sentido si tomamos derivadas débiles y, por lo tanto, buscamos . (Recuerde que para las funciones que no son continuas, no podemos tomar la condición de límite puntual. Desde $f$ $(1)$ $x\in \Omega$ $f\in L^2(\Omega)$ $L^2$ $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ $u$ $(2)$ $\partial \Omega$ tiene cero medida de Lebesgue como un subconjunto de , puntual casi en todas partes tampoco tiene sentido.) Una función que satisface puntual casi en todas partes se llama una solución fuerte . Tenga en cuenta que, en general, es necesario y no trivial mostrar que dicha solución existe y es única (como es el caso del ejemplo aquí). $\bar\Omega$

$u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ $(1)$
Si ya estamos tratando con derivados débiles, también podemos relajar aún más los supuestos sobre . Si tomamos para mantener como una ecuación de operador abstracto en , el espacio dual de , entonces esto tiene sentido para todo (que es un espacio más grande que ). Bastante por definición del espacio dual y la derivada débil, en este sentido es equivalente a la ecuación variacional Una función $f$ $(1)$ $H^{-1}(\Omega)$ $H^1_0(\Omega)$ $f\in H^{-1}(\Omega)$ $L^2(\Omega)$ $(1)$
$\begin{matrix} (3) & \int_{Ω} \nabla u (x) \cdot \nabla v (x) d x = \int_{Ω} f (x) v (x) d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}$ $\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$
$u\in H^1_0(\Omega)$ que satisface se llama una solución débil . Nuevamente, en general es necesario y no trivial mostrar que tal solución existe y es única (como es el caso aquí). $(3)$

Ahora, dado que los derivados clásicos también son derivados débiles, cada solución clásica también es una solución fuerte. Del mismo modo, al incrustar , toda solución fuerte es también una solución débil. Las otras direcciones son más sutiles. $H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

Si tiene una solución única, que además satisface para (en lugar de solo ), entonces la solución débil también es una solución fuerte (y para también es una solución clásica ya que en este caso integra en ). Esta propiedad a veces se llama regularidad máxima (elíptica) , y se cumple para la ecuación de Poisson suponiendo que el límite (y los datos del límite) son lo suficientemente suaves. (Aquí es donde entra en juego la suposición anterior). $(3)$ $u\in H^2(\Omega)$ $f\in L^2(\Omega)$ $H^{-1}(\Omega)$ $n=2$ $H^2(\Omega)$ $C(\bar\Omega)$ $\partial\Omega$
De lo contrario, puede suceder incluso para que el PDE tiene una solución débil pero no una solución fuerte. $f\in L^2(\Omega)$
Si no se mantiene la regularidad máxima, también puede suceder que el PDE tenga una solución fuerte única (que, por lo tanto, también es una solución débil), pero no una solución débil única. Esto significa que existen muchas soluciones débiles en, por ejemplo, , pero solo una de ellas también está en y, por lo tanto, una solución fuerte. (Los ejemplos reales requieren espacios más complicados; ver, por ejemplo, Meyer, Christian; Panizzi, Lucia; Schiela, Anton , Criterios de unicidad para la ecuación adjunta en control óptimo elíptico con restricción de estado , Numer. Funct. Anal. Optim. 32, No .9, 983-1007 (2011). ZBL1230.35041 , o ecuaciones no lineales más complicadas; ver, por ejemplo, http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ $H^1_0(\Omega)$ $H^2(\Omega)$ .)

Christian Clason
fuente

Encontré esta respuesta realmente útil. ¿Puede proporcionar una referencia a su última parte de su respuesta? Me gustaría ver un ejemplo en el que un PDE tiene una solución fuerte única pero permite múltiples soluciones débiles. ¡Gracias!

induction601

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