Elementos de Raviart-Thomas en el cuadrado de referencia

Me gustaría aprender cómo funciona el elemento Raviart-Thomas (RT). Con ese fin, me gustaría describir analíticamente cómo se ven las funciones básicas en el cuadrado de referencia. El objetivo aquí no es implementarlo yo mismo, sino simplemente obtener una comprensión intuitiva del elemento.

Estoy basando en gran medida este trabajo en los elementos triangulares discutidos aquí , tal vez extenderlo a cuadriláteros es un error en sí mismo.

Dicho esto, puedo definir las funciones básicas para el primer elemento RK RK0:

parai=1,…,

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$$ $i = 1,\dots,4.$

Las condiciones en son que:$\mathbf{\phi}_i$

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$

donde es la unidad normal que se muestra a continuación, y x j es su coordenada.$\mathbf{n}_j$$\mathbf{x}_j$

Este es el cuadrado de referencia , por lo que esto conduce a un sistema de ecuaciones para cada función base. Para ϕ 1 esto es:$[-1,1]\times[1,1]$$\mathbf{\phi}_1$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$

que se puede resolver para dar:

$$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$$

Las otras funciones básicas se pueden encontrar de manera similar.

Suponiendo que esto sea correcto, el siguiente paso es encontrar las funciones básicas para RK1. Aquí es donde me estoy poniendo un poco inseguro de mí mismo. Según el enlace de arriba, el espacio que nos interesa es:

$$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$$

Una base para sería { 1 , x , y $P_1$$\{ 1, x, y\}$

Creo que esto significa que las funciones básicas de RK1 deberían tomar la forma:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$$

Esto deja 10 incógnitas para cada función básica. Si aplicamos las mismas condiciones que en el caso RK0, a saber:

, donde n j es la unidad normal como se muestra a continuación:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$ $\mathbf{n}_j$

Esto nos da 8 ecuaciones. Los otros 2, creo, se pueden encontrar en algunos momentos. No estoy realmente seguro de cómo exactamente. El enlace de arriba habla sobre la integración contra una base para , pero tengo problemas para entender qué significa eso. ¿Estoy en el camino correcto o me he perdido algo por completo aquí?$[P_1]^2$

En general, no puede simplemente transferir la misma base polinómica de elementos tetraédricos a cuadriláteros. ¹ En particular, el objetivo de los elementos cuadriláteros es trabajar con productos tensoriales de polinomios unidimensionales, lo que no es posible para los elementos tetraédricos.

$RT_k$

$$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$$ $$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$$ $k=0$$k=1$ $$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$$ $\dim RT_1 = 12$$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$$RT_k$$k+1$

$$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$$ $\{q_j\}$$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$$\{1,x,y\}$$k=1$ $$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$$ $e_m$$\nu_{e_m}$$m$$q_{m,j}$$P_k(e_m)$$\{1,x\}$$\{1,y\}$$k=1$

$H(div)$

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_{$k$$k$$k$$k$$x^2y$$3$$2$}