Evaluación de integrales oscilatorias con muchos períodos independientes y sin formas cerradas

La mayoría de los métodos para integrales oscilatorias que conozco tratan con integrales de la forma donde es grande.

\int f (x) e^{i ω x} d x

$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$

ω

$\omega$

Si tengo una integral de la forma donde son funciones oscilatorias cuyas raíces solo se conocen aproximadamente, pero algún tipo de forma asintótica es conocido, con las frecuencias todas diferentes (y linealmente independientes), entonces ¿cómo puedo evaluar esta integral?

\int f (x) g_{1} (x) \dots g_{n} (x) d x,

$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$

g_{k}

$g_k$

g_{k} (x) \sim e^{i ω_{k} x}

$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$

ω_{k}

$\omega_k$

Q

$\mathbb{Q}$

A diferencia del caso de $e^{i\omega x}$ , las integrales polinomiales $\int x^a \prod g_k(x)$ no se conocen, por lo que no puedo construir un conjunto de interpolantes polinomiales para $f(x)$ e integrar los interpolantes exactamente.

En mi problema exacto, $g_k$ 's son funciones de Bessel $J_0(\omega_k x)$ , y $f(x)=x^\alpha$ , y la región de integración es $[0,\infty)$ . El método que estoy usando ahora es resumir las contribuciones integrales en intervalos $[x_{k-1},x_k]$ entre las raíces hasta cierto límite $M$ , luego use la expansión asintótica para $g_k(x)$ para grande $x$ . La complejidad del tiempo de este algoritmo es exponencial en $n$ porque implica expandir el producto $g_1\ldots g_n$ , cada uno de los cuales tiene un número $r$ de términos asintóticos, dando $r^n$ términos totales; Los términos de poda que son demasiado pequeños no reducen el tiempo de ejecución lo suficiente como para que esto sea factible para grande $n$ .

Las respuestas, sugerencias y referencias heurísticas no rigurosas son bienvenidas.

quadrature Kirill
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Respuestas:

He trabajado en integrales más simples donde hay puntos de fase estacionaria. Encontré dos métodos que funcionan bastante bien.

Una es introducir un factor de amortiguación exponencial que depende de la función de fase, un tipo de viscosidad artificial si lo desea.

Otra técnica (donde hay múltiples puntos de fase estadística) se describió en:

Tuck, EO, Collins, JL y Wells, WH, "Sobre las olas del barco y sus espectros", Journal of Ship Research, pp. 11-21, 1971.

Ese método aplica factores de descomposición exponencial al integrando donde se vuelve rápidamente oscilante lejos de la estadística. puntos de fase, pero deja el integrando intacto donde no está.

Ese soy yo sin ideas!

Lisístrata
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Gracias, pero no entiendo cómo funcionaría esto en este caso. Por un lado, no hay puntos de fase estacionaria en la línea real, y las contribuciones de las oscilaciones son significativas para el valor final, por lo que no deben amortiguarse.

Kirill

Mientras tenga valores precisos para las raíces (o extremos) de la parte oscilatoria de su integrando, el método de Longman (como describí en esta respuesta ) sigue siendo aplicable. Todo lo que tiene que hacer es evaluar un grupo de integrales con intervalos entre las raíces utilizando su método de cuadratura favorito, y tratar estas integrales como los términos de algunas series alternas. Luego puede usar cualquier número de métodos de aceleración de convergencia (Euler, Levin, Weniger, etc.) para "sumar" esta serie alterna.

Como ejemplo, en esta respuesta matemática de SE , evalué una integral infinita cuya parte oscilatoria es producto de dos funciones de Bessel.

JM
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¿No importaría que las raíces estén espaciadas irregularmente (todos los períodos son irracionales e independientes)? ¿Por qué confiarías en la aceleración de convergencia para una secuencia tan irregular?

Kirill

Esto fue hace un tiempo, quería evaluar la integral a mil dígitos y si recuerdo correctamente, la cuadratura oscilatoria fue lo primero que intenté. No recuerdo los resultados, pero no creo que funcionó bien en ese momento.

Kirill

"¿Por qué confiarías en la aceleración de convergencia para una secuencia tan irregular?" - No confiaría en un solo acelerador, aunque. Pero, si al menos tres aceleradores diferentes me están dando resultados consistentes, creo que los dígitos que obtuve son al menos plausibles. FWIW, he usado Longman para integrales infinitas de productos de las funciones de Bessel, y nunca me ha decepcionado, especialmente cuando uso la transformación de Weniger como acelerador.

El método que describo en la pregunta también es un método de cuadratura oscilatoria: expande el integrando en una serie de términos de la forma , cuyas integrales infinitas tienen una forma cerrada. Confiaría en tal método más que en la aceleración de convergencia. Entiendo que requieren algo como una fuerte monotonicidad o una buena comprensión de los términos de error para asegurarse de que funcionen bien.

x^{a} e^{b x}

$x^a e^{b x}$

Kirill

Si puede hacer una expansión de Fourier (generalizada), entonces seguro.