Segunda derivada de las funciones asociadas de Legendre

Me gustaría calcular, como parte de la solución de la ecuación de Laplace utilizando el Método rápido multipolar, la segunda derivada de las funciones de leyenda asociadas del primer tipo . Específicamente, estoy buscando implementaciones de C o simplemente la relación de recurrencia correcta para usar para escribir la función yo mismo.

Intenté buscar relaciones de recurrencia y encontré esto, pero sospecho que podría no ser correcto.

También he intentado buscar funciones listas para usar como estas, pero solo me he topado con funciones para la primera derivada de las funciones asociadas, no para la segunda.

Si alguien puede señalarme en la dirección correcta, ¡estaré realmente agradecido! ¡Muchas gracias!

Puede encontrar las relaciones de recurrencia para la primera derivada (con respecto a la variable) en la Biblioteca digital de funciones matemáticas ( DLMF ) en el Capítulo 14 , secciones 14.10 y 14.11 . Sin embargo, tendrá que cuidar la estabilidad de la recurrencia. Debe consultar las referencias mencionadas en este capítulo (consulte la sección final sobre software y las referencias a las que apunta).

Creo que la biblioteca GSL que menciona sí calcula derivados de orden superior (con respecto a la variable). Puede encontrar otra implementación en SciPy donde se menciona explícitamente que la rutina calcula derivados de orden superior (consulte la página de manual ).