¿Cuál es la medida de Helstrom?

He estado leyendo el artículo de decodificación de propagación de creencias de canales cuánticos pasando mensajes cuánticos de Joseph Renes para decodificar canales cuánticos clásicos y he cruzado con el concepto de mediciones de Helstrom .

Tengo algunos conocimientos sobre la teoría de la información cuántica y la corrección de errores cuánticos, pero nunca había leído sobre tal medición hasta que trabajé en ese documento. En dicho artículo, el autor afirma que la medición es óptima para este procedimiento de decodificación, por lo que me gustaría saber qué tipo de mediciones son y cómo se pueden hacer.

La medición de Helstrom es la medición que tiene la probabilidad mínima de error cuando se trata de distinguir entre dos estados.

Por ejemplo, imaginemos que tiene dos estados puros y , y desea saber cuál es el que tiene. Si , puede especificar una medición con tres proyectores (Para un espacio de Hilbert bidimensional, )| phi ⟩ ⟨ Psi | varphi ⟩ = 0 P ψ = | Psi ⟩ ⟨ Psi $|\psi\rangle$$|\phi\rangle$$\langle\psi|\phi\rangle=0$ˉ P =

$$P_{\psi}=|\psi\rangle\langle\psi|\qquad P_{\phi}=|\phi\rangle\langle\phi|\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$$ $\bar P=0$

La pregunta es qué medición debe realizar en el caso de que ? Específicamente, supongamos que , y me concentraré solo en mediciones proyectivas (IIRC, esto es óptimo). En ese caso, siempre hay una unitaria tal que Ahora, esos estados se distinguen de manera óptima pory(obtienes , y asumes que tenías ). Por lo tanto, la medida óptima es ⟨ Psi | phi ⟩ = cos ( 2 θ ) T T | Psi ⟩ = cos theta | 0 ⟩ + pecado theta | 1 $\langle\psi|\phi\rangle\neq0$$\langle\psi|\phi\rangle=\cos(2\theta)$$U$El | + ⟩ ⟨ + | El | - ⟩ ⟨ - | El | + ⟩ U | ψ ⟩ P ψ = U † | + ⟩ ⟨ + |

$$U|\psi\rangle=\cos\theta|0\rangle+\sin\theta|1\rangle\qquad U|\phi\rangle=\cos\theta|0\rangle-\sin\theta|1\rangle.$$ $|+\rangle\langle +|$$|-\rangle\langle -|$$|+\rangle$$U|\psi\rangle$( cos θ + sin $$P_{\psi}=U^\dagger|+\rangle\langle+|U\qquad P_{\phi}=U^\dagger|-\rangle\langle-|U\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$$ La probabilidad de éxito es $$\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1+\sin(2\theta)}{2}.$$

De manera más general, ¿cómo distingue entre dos matrices de densidad y ? Comience calculando y encuentre los valores propios y los vectores propios correspondientes de . Construye 3 operadores de medición Si obtiene la respuesta , asume que tenía . Si obtienes , tienes , mientras que si obtienes$\rho_1$$\rho_2$

$$\delta\rho=\rho_1-\rho_2,$$ $\{\lambda_i\}$$|\lambda_i\rangle$$\delta\rho$ $$P_1=\sum_{i:\lambda_i>0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_2=\sum_{i:\lambda_i<0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_0=\mathbb{I}-P_1-P_2.$$ $P_1$$\rho_1$$P_2$$\rho_2$$P_0$simplemente adivinas cuál tenías. Puede verificar que esto reproduzca la estrategia de estado puro descrita anteriormente. ¿Cuál es la probabilidad de éxito de esta estrategia? Podemos expandir esto como Desde y , esto es solo $$\frac12\text{Tr}((P_1+P_0/2)\rho_1)+\frac12\text{Tr}((P_2+P_0/2)\rho_2)$$ $$\frac14\text{Tr}((P_1+P_2+P_0)(\rho_1+\rho_2))+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))$$ $P_1+P_2+P_0=\mathbb{I}$$\text{Tr}(\rho_1)=\text{Tr}(\rho_2)=1$ $$\frac12+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))=\frac12+\frac14\text{Tr}|\rho_1-\rho_2|.$$