¿Qué números enteros se han factorizado con el algoritmo de Shor?

Se espera que el algoritmo de Shor nos permita factorizar números enteros mucho más grandes de lo que podría hacerse en las computadoras clásicas modernas.

En la actualidad, solo se han factorizado los enteros más pequeños. Por ejemplo, este artículo analiza la factorización $15=5{\times}3$ .

¿Cuál es en este sentido el estado del arte en la investigación? ¿Hay algún documento reciente en el que diga que se han factorizado algunos números más grandes?

shors-algorithm Bailarina de mentira
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Estrechamente relacionado, pero no es un duplicado exacto: ¿Cuál es el número más alto factorizado por QC en un experimento no específico?

agaitaarino

Respuestas:

La factorización prima de 21 (7x3) parece ser la más grande realizada hasta la fecha con el algoritmo de Shor; se realizó en 2012 como se detalla en este documento . Cabe señalar, sin embargo, que se han factorizado números mucho mayores, como 56,153 en 2014, utilizando un algoritmo de minimización, como se detalla aquí . Para una referencia conveniente, consulte la Tabla 5 de este documento :

{\begin{matrix} Table 5: Quantum factorization records \\ \begin{array}{cccccc} Number & # of factors & \begin{matrix} # of qubits \\ needed \end{matrix} & Algorithm & \begin{matrix} Year \\ implemented \end{matrix} & \begin{matrix} Implemented \\ without prior \\ knowledge of \\ solution \end{matrix} \\ 15 & 2 & 8 & Shor & 2001 [2] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2009 [5] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2012 [6] & χ \\ 21 & 2 & 10 & Shor & 2012 [7] & χ \\ 143 & 2 & 4 & minimization & 2012 [1] & ✓ \\ 56153 & 2 & 4 & minimization & 2012 [1] & ✓ \\ 291311 & 2 & 6 & minimization & not yet & ✓ \\ 175 & 3 & 3 & minimization & not yet & ✓ \end{array} \end{matrix}}_{.}

$\begin{array}{c} \textbf{Table 5:}~\text{Quantum factorization records} \\ \hline \small{ \begin{array}{cccccc} \text{Number} & \text{# of factors} & \begin{array}{c}\text{# of qubits} \\ \text{needed} \end{array} & \text{Algorithm} & \begin{array}{c}\text{Year} \\ \text{implemented} \end{array} & \begin{array}{c}\text{Implemented} \\ \text{without prior} \\ \text{knowledge of} \\ \text{solution} \end{array} \\ \hline 15 & 2 & 8 & \text{Shor} & 2001~\left[2\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2009~\left[5\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2012~\left[6\right] & \chi \\ 21 & 2 & 10 & \text{Shor} & 2012~\left[7\right] & \chi \\ 143 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ 56153 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ \hline 291311 & 2 & 6 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \\ 175 & 3 & 3 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \end{array}} \end{array}_{\Large{.}}$

brezo
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@SqueamishOssifrage: ¿Dónde dice que el algoritmo de minimización está "limitado a números cuyos factores tienen relaciones conocidas que hacen que el espacio de búsqueda sea mucho más pequeño, como diferir en solo unas pocas posiciones de bit o diferir en todas menos algunas posiciones"?

usuario1271772

@ user1271772 Según tengo entendido, la técnica se basa en reducir el problema para requerir solo un número manejable de qubits al eliminar variables por relaciones conocidas entre los bits de los factores. Aunque el número de qubits para factorizar

puede escalar solo con

, ninguno de los artículos que leí parecía intentar estimar el crecimiento del tiempo hasta la solución en función del número de qubits o del

N

$N$

O (\log^{2} N)

$O(\log^2 N)$

\log N

$\log N$

Squeamish Ossifrage

@SqueamishOssifrage: "eliminando variables por relaciones conocidas entre los bits de los factores" ¿Estaría de acuerdo en que la ecuación? 1 de arxiv.org/pdf/1411.6758.pdf implica que z12 = 0, sin ninguna relación "conocida" entre los bits? ¿Estaría de acuerdo en que puede deducir que z12 = 0 para p1 arbitrario, p2, q1, q2? Siguiente: El número de variables (qubits) en el método de la tabla es

. El problema se puede resolver en un annealer con

qubits si se permiten interacciones arbitrarias de 4 qubit. Si sólo se permiten las interacciones 2 qubits, es necesario

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

usuario1271772

@SqueamishOssifrage: "ninguno de los documentos que leí parecía intentar estimar el crecimiento del tiempo de solución en función del número de qubits". Éste hizo un intento: journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.101.220405 Pero el "tiempo para la solución" no es lo importante, es el esfuerzo requerido. El tamizado de GNF es fácil, pero el paso de la matriz es terriblemente engorroso. Realizar el algoritmo de Shor de una manera razonablemente óptima es engorroso. El algoritmo de minimización es simple.

user1271772

@SqueamishOssifrage: Finalmente: "Tenga en cuenta que el algoritmo de minimización se limita a números cuyos factores tienen relaciones conocidas" ... ninguna parte del algoritmo se limita a las relaciones "conocidas". El algoritmo no asume nada sobre los factores. Sin relaciones Los bits son todas las variables desconocidas que se determinan por minimización. La minimización se puede hacer con menos qubits para algunos números que para otros. Lo mismo es cierto para el algoritmo de Shor. Lo mismo es cierto para GNFS. De hecho, si el número que desea factorizar es par, es bastante fácil factorizarlo.

user1271772

Para el algoritmo de Shor : el estado del arte sigue siendo 15 . Para "factorizar" 21 en el documento que menciona Heather, tuvieron que usar el hecho de que para elegir su base . Esto se explicó en 2013 en el artículo Pretendiendo factorizar números en una computadora cuántica , más tarde publicado por Nature con un título ligeramente más amigable . La computadora cuántica no factorizó 21, pero verificó que los factores 7 y 3 son correctos. $21=7\times 3$ $a$

Para el algoritmo de recocido : El estado del arte es 376289 . Pero no sabemos cómo escalará esto. Un límite superior muy crudo para la cantidad de qubits necesarios para factorizar RSA-230 es de 5.5 mil millones de qubits (pero esto puede ser reducido significativamente por mejores compiladores), mientras que el algoritmo de Shor puede hacerlo con 381 qubits .

usuario1271772
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Notarás en la tabla en mi respuesta que hay una columna para "implementado sin conocimiento previo de la solución", hay una "x" para todas las implementaciones de algoritmos de shor, lo que me lleva a creer que algo similar es cierto para factorizar 15.

brezo

El tamaño del número factorizado no es una buena medida para la complejidad del problema de factorización y, en consecuencia, la potencia de un algoritmo cuántico. La medida relevante debería ser la periodicidad de la función resultante que aparece en el algoritmo.

Esto se discute en J. Smolin, G. Smith, A. Vargo: pretendiendo factorizar grandes números en una computadora cuántica , Nature 499, 163-165 (2013) . En particular, los autores también dan un ejemplo de un número con 20000 dígitos binarios que se puede factorizar con una computadora cuántica de dos qubits, con exactamente la misma implementación que se había utilizado previamente para factorizar otros números.

Cabe señalar que las "simplificaciones manuales" que realizan los autores para llegar a este algoritmo cuántico es algo que también se ha hecho, por ejemplo, para el experimento original de factorización 15.

Norbert Schuch
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