¿Por qué no usamos mapas octogonales en lugar de mapas hexagonales?

Entiendo la ventaja de las fichas hexagonales sobre las cuadradas. Pero, ¿por qué no se usan octágonos en su lugar? Creo que proporcionarían un movimiento mejor y más natural en ocho direcciones.

Estaba pensando en usar ese tipo de mapa en algún juego, pero no he visto ningún juego que lo use, así que me pregunto si me perdí algo que obviamente fallaba al usarlo.

Octogones:

Hexágonos:

Las brechas en los octógonos crean un mundo de juego poco atractivo.

Por lo general, si quisiera permitir ocho direcciones de movimiento, simplemente usaría cuadrados.

Para resumir y elaborar lo que se ha dicho en otras respuestas y en comentarios, los triángulos, cuadrados y hexágonos son las únicas inclinaciones regulares matemáticamente posibles, también conocidas como teselaciones regulares del plano euclidiano . Entonces sí, esto apesta. Los triángulos son completamente inútiles aquí, los cuadrados apestan porque no puedes moverte diagonalmente sin tener un factor algo difícil de manejar de 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480 ... más o menos; y los hexágonos apestan porque ni siquiera puedes moverte derecho en ambas direcciones. No me malinterpreten, todavía los prefiero a los cuadrados dentro de las limitaciones de la realidad de mierda que nos dejaron las matemáticas y vamos a Civ5 para finalmente cambiar a cuadrículas hexadecimales. Pero aun así, si fuera posible teselar con octágonos, nadie volvería a mirar los hexágonos.

Podrías decir "Bueno, no me importa si hay lagunas. Solo pretendo que no están allí". Obtendría el mosaico cuadrado truncado que se llama mosaico cuadrado no porque haya pequeños espacios cuadrados sino porque esos octágonos son, de hecho, cuadrados glorificados en términos de mosaico del plano. Esos pequeños cuadrados son lo que queda de truncarlas esquinas de los cuadrados que en realidad enlosarían el plano y, en términos de juego, la razón para no usar cuadrados en primer lugar era tener la misma distancia para movimientos rectos y diagonales y esto es lo que no tienes aquí. Los movimientos diagonales tienen que tender un puente sobre la misma distancia entre los centros de las fichas como lo harían con las fichas cuadradas. Por el contrario, si finges que tu espacio digital mágico tenía agujeros reales, por supuesto que puedes hacer eso, pero ¿cuál es la diferencia de solo usar fichas cuadradas y hacer movimientos diagonales tan caros como los rectos?

Ahora, todo esto no sería tan malo si hubiera alternativas realmente buenas que no sean euclidianas . A menudo, nuestra cuadrícula está en algún tipo de planeta de todos modos, entonces, ¿por qué no usar una geometría elíptica, es decir, la superficie de una esfera? Desafortunadamente, las esferas son incluso mucho, mucho peores cuando se trata de inclinaciones regulares. Donde en el avión puede usar al menos tantas o tan pocas fichas como desee, en las esferas hay cinco arreglos, los sólidos platónicos. Eso es. Y solo dos de ellos no usan triángulos. https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_polyhedra

Sin embargo, el plano hiperbólico realmente oscila cuando se trata de teselaciones. No hay solo tres, de hecho, hay un número infinito de teselaciones regulares, incluida una octogonal .

El único problema es que el plano hiperbólico no es algo tan agradable como una superficie plana o una esfera, sino básicamente la superficie de un Pringle . Necesitarías un buen gancho de historia para justificar un juego en un Pringle;)

Aún así, el suelo de baldosas octogonal es tan elegante y los discos de Poincaré se ve tan impresionante que estoy realmente sorprendido de que nunca es casi ha hecho (anteriormente he dicho "nunca se ha hecho" aquí, pero luego leí MartianInvader 's comentario apunta a HyperRogue ).

En cuanto a la implementación, aunque nunca lo he hecho yo mismo, debería ser bastante sencillo implementar esto con las arquitecturas 3D actuales, ya que se puede construir una vista de disco de Poincaré colocando todo en la superficie de un hiperboloide y haciendo una proyección en perspectiva (ver Relación con el modelo hiperboloide ).

Solo una cosa más para concluir esto, en caso de que pienses en hacer un juego espacial basado en la cuadrícula e ir a tres dimensiones, esperando que las cosas se vean más rosadas allí ... mejor solo ríndete. No solo necesitaría un poliedro convexo regular con 14 caras que no existe , sino que la única forma de teselar el espacio euclidiano 3D con poliedros convexos regulares es con cubos. Booooring. En el espacio hiperbólico , al menos puedes obtener algo vagamente similar al análogo de una cuadrícula hexadecimal al teselar con dodecaedros (es decir, poliedros de 12 caras; eso es casi 14, ¿verdad?), Pero ahora estás en una tierra de mierda total y todavía no tienes La contraparte de un mosaico octogonal:

Hermosa como el infierno? ¡Dios mío, sí! ¿Entraría en pánico sin medida si las naves extraterrestres vinieran detrás de mí en esto y se esperara que reaccionara de una manera sensata? Apuesto a que lo haría. Esta es probablemente la razón por la cual la mayoría de las personas solo usan cubos o pilas prismáticas hexagonales .

El autor de HyperRogue aquí.

HyperRogue en realidad usa una teselación hecha de hexágonos y heptagones, esta es la razón por la cual se eligió esta teselación en particular, en lugar de solo octágonos o heptagones, por ejemplo: geometría hiperbólica en pícaro hiperbólico Básicamente, los octágonos son demasiado grandes.

También se enumeran algunas consecuencias del uso de geometría hiperbólica en un juego (lo que funciona en hiperbólico y no funciona en euclidiano, y viceversa) en esa publicación.

Y sí, como supuso Christian, HyperRogue usa internamente el modelo hiperboloide.

No se me permite comentar sobre la respuesta de Christian, pero hay una teselación del espacio 3D con poliedros de 14 caras: Panal cúbico bitruncado (¿por qué 14 caras, de todos modos?)

Básicamente, lo que desea es una teselación monoédrica (o mosaico), es decir, una cobertura de todo el plano (suponiendo 2d) con una sola forma donde los mosaicos no se superponen ni dejan huecos.

Hay muchas formas con las que esto se puede hacer, pero cuando introducimos otras restricciones, por lo general, la orientación debe permanecer igual o deben ajustarse a una dirección de movimiento natural, básicamente solo quedan cuadrados y hexágonos.

Tome el triángulo como ejemplos (que puede conocer de la teselación de objetos 3d). Para llenar los espacios entre dos triángulos, se debe insertar otro triángulo, pero se debe voltear boca abajo. Obviamente, esto es una molestia para generar cuando se trata de sprites, por ejemplo, ya que una conexión perfecta es importante. También el movimiento triangular apesta.

El más natural, con respecto al movimiento al menos, es el cuadrado que resulta ser el más utilizado. Los hexágonos son la mejor opción y permiten un acercamiento más directo a un mayor número de direcciones de movimiento, es decir, no sobre el movimiento de la esquina como lo hace el movimiento de 8 vías en los cuadrados. Por lo general, se usan en juegos más tácticos donde el aumento del movimiento es importante.

De todos modos, si desea leer más, eche un vistazo a http://euler.slu.edu/escher/index.php/Tessellations_by_Polygons .