Un plano 3d se define típicamente como a,b,c,d. ¿Son a,b,crealmente las x,y,zcoordenadas de un vector 3D, con la ddefinición de la rotación del plano, algo así como datos de rotación de ángulo de eje?
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La representación de un plano en cuatro variables son los coeficientes en la igualdad
ax + by + cz = d
Esto se puede ver como N = ( a , b , c ) como un vector normal yd como una distancia desde el origen de coordenadas (en unidades de la longitud de N ), y también podemos escribir esta ecuación como N · P = d , donde P = ( x , y , z ).
Esta representación no permite definir un "origen del plano" específico: los planos matemáticos no tienen orígenes. (Sin embargo, sucede que desde N · P = d podemos establecer P = ( d | N | -2 ) N y obtener un punto específico en el plano: el punto más cercano al origen del sistema de coordenadas ).
Si cambia el = a <o>, describe un "medio espacio", que se puede usar para cosas como un piso infinito en un motor de física; el medio espacio opuesto se obtiene al negar tanto N como d .
"Típicamente" es una palabra bastante subjetiva, en mi experiencia hay diferentes maneras de describir un plano en un espacio 3D que son más comunes debido a las propiedades que muestran tales construcciones.
Sobre su pregunta, hay que usar 4 valores reales para determinar un plano en un espacio 3D. Como señaló, a, b, c pueden ser los componentes de un vector que es perpendicular al plano deseado. Si N = (a, b, c) es nuestro vector perpendicular, puede encontrar un punto en su plano que sea P = d N para algún d real y positivo. Aquí dices que d es la distancia desde el origen en términos de N ; si N es un vector unitario, entonces d es la distancia entre el origen y su plano de la forma en que se entiende comúnmente el término "distancia" .
Sorprendentemente, puede definir cualquier posible plano orientado porque puede usar valores negativos de d ; al hacerlo, pierde el significado directo de d como distancia hasta que lo pone en un valor absoluto ( | d | ).
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Hasta donde yo sé, un plano generalmente se define por una posición, para decirnos dónde está el origen, y una orientación normal hacia arriba desde el plano para decirnos qué orientación tenemos. Es una práctica común usar dos vectores para esto.
Con cuatro variables, no tiene suficientes variables para definir un plano que no tiene un origen en (0,0,0) o no hay suficientes variables para dar cuenta de todas las rotaciones.
Lo mínimo que necesitaríamos para un plano en el espacio euclidiano 3D con un origen que no esté en (0,0,0) y pueda orientarse de la forma que queramos es 5. Imagina la esfera unitaria, necesitamos 3 variables para definir dónde está el origen de la esfera de la unidad es (X, Y, Z). Luego necesitamos dos variables para definir dónde está el 'arriba' del avión. Podemos hacer esto usando el vector descrito yendo desde el origen de la esfera hacia su superficie dada una latitud y longitud.
Cómo reconstruirías un plano con solo cuatro variables, no lo sé. ¿Quizás estás trabajando en un dominio estrecho (el plano siempre está en (0,0,0) y las cuatro variables son un cuaternión?) O las variables no son escalares? ¿En qué contexto estás usando esto a, b, c, d?
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