¿Segundo momento de área para el triángulo inclinado?

Considere este triángulo con su centroide en : $C$

Entonces así es como creo que podemos calcular el Segundo Momento de Área a lo largo de los ejes e : $x_{C}$ $y_{C}$

\begin{aligned} {yo}_{X do} & = \frac{segundo h^{3}}{36} \\ {yo}_{y do} & = \frac{h segundo ({segundo}^{2} - s t)}{36} \end{aligned}

$\begin{align} I_{xc} &= \frac{bh^3}{36} \\ I_{yc} &= \frac{hb(b^2-st)}{36} \end{align}$

Hasta ahora tan bueno.

Pero luego tenemos este triángulo:

Preguntas

¿Hay alguna forma similar de calcular el segundo momento de área para un triángulo inclinado, como el de arriba?
¿Funcionarán incluso las mismas ecuaciones?
$s$ $t$

$LR$

Fuente de ecuaciones

statics moments 0scar
fuente

Respuestas:

Oscar, no estoy seguro de cuáles son tus antecedentes matemáticos, pero hay muchas maneras diferentes de llegar allí. Lo más directo es razonar a partir de las propiedades de las transformaciones afines, específicamente el mapeo de corte .

Durante una cizalla horizontal, como en el triángulo 1 al triángulo 2, las distancias movidas por diferentes puntos son proporcionales a su coordenada y. Esto nos dice, en efecto, que si su ecuación Iyc es una solución general para triángulos agudos, también debe ser una solución general para triángulos obtusos, ya que se generan a partir de la misma transformación. La única diferencia es la magnitud de la transformación. Por lo que sólo tiene que ser coherente con la forma de medir s y t . s comienza en L y va a T, yt comienza en T y va a R, midiendo horizontalmente. Esto es fácil de verificar comparando dos triángulos que son ángulos casi rectos (pequeño valor t), uno de cada tipo.

Phil Sweet
fuente

Diría que mi experiencia matemática es un aficionado optimista, así que no puedo decir que entiendo por qué la ecuación debe funcionar, pero estoy comprando esta explicación y razonamiento:) ¡Gracias!

0car

$I_{xc}$ $I_{yc}$ $t$ $b$ $s$

Una larga respuesta matemática. Voy a llamar al vértice del vértice en ángulo recto 0. En ambos casos, el triángulo final TLR se obtiene de los triángulos TOL y TOR .

El área, centroide y segundo momento de las áreas alrededor del centroide para cada triángulo:

\begin{array}{cc} una r mi una & do mi norte t r o yo re & metro o metro mi norte t \\ T O L & \frac{h s}{2} & {\frac{2 s}{3}, \frac{h}{3}} & {\frac{h^{3} s}{36}, \frac{h s^{3}}{36}} \\ T O R & \frac{h t}{2} & {\frac{2 s + segundo}{3}, \frac{h}{3}} & {\frac{h^{3} t}{36}, \frac{h t^{3}}{36}} \end{array}

$\begin{array}{cc} & area & centroid & moment \\ TOL & \frac{h s}{2} &\left\{\frac{2 s}{3},\frac{h}{3}\right\} & \left\{\frac{h^3 s}{36},\frac{h s^3}{36}\right\} \\ TOR & \frac{h t}{2} & \left\{\frac{2 s+b}{3},\frac{h}{3}\right\} & \left\{\frac{h^3 t}{36},\frac{h t^3}{36}\right\} \\ \end{array}$

$\left\{\frac{b+s}{3},\frac{h}{3}\right\}$ $I=I_c+Ad^2$

Los nuevos momentos de TOL son

{\frac{h^{3} s}{36}, \frac{h s^{3}}{36}} + \frac{1}{2} h s {{(\frac{h}{3} - \frac{h}{3})}^{2}, {(\frac{segundo + s}{3} - \frac{2 s}{3})}^{2}}

$\left\{\frac{h^3 s}{36},\frac{h s^3}{36}\right\}+\frac{1}{2} h s \left\{\left(\frac{h}{3}-\frac{h}{3}\right)^2,\left(\frac{b+s}{3}-\frac{2 s}{3}\right)^2\right\}$

{{yo}_{X T O L}, {yo}_{Y T O L}} = {\frac{h^{3} s}{36}, \frac{1}{36} h s (2 {segundo}^{2} - 4 4 segundo s + 3 s^{2})}

$\left\{I_{XTOL}, I_{YTOL}\right\} = \left\{\frac{h^3 s}{36},\frac{1}{36} h s \left(2 b^2-4 b s+3 s^2\right)\right\}$

Del mismo modo, los nuevos momentos de TOR son

{\frac{h^{3} t}{36}, \frac{h t^{3}}{36}} + \frac{1}{2} h t {{(\frac{h}{3} - \frac{h}{3})}^{2}, {(\frac{1}{3} (segundo + 2 s) - \frac{segundo + s}{3})}^{2}}

$\left\{\frac{h^3 t}{36},\frac{h t^3}{36}\right\}+\frac{1}{2} h t \left\{\left(\frac{h}{3}-\frac{h}{3}\right)^2,\left(\frac{1}{3} (b+2 s)-\frac{b+s}{3}\right)^2\right\}$

y eso se simplifica a

{{yo}_{X T O R}, {yo}_{Y T O R}} = {\frac{h^{3} t}{36}, \frac{1}{36} h t (2 s^{2} + t^{2})}

$\left\{I_{XTOR}, I_{YTOR}\right\} = \left\{\frac{h^3 t}{36},\frac{1}{36} h t \left(2 s^2+t^2\right)\right\}$

$I_{xc}$

$t+s=b$

{yo}_{X do} = {yo}_{X T O L} + {yo}_{X T O R} = \frac{h^{3} s}{36} + \frac{h^{3} t}{36} = \frac{h^{3} segundo}{36}

$I_{xc} = I_{XTOL}+I_{XTOR}= \frac{h^3 s}{36}+\frac{h^3 t}{36}= \frac{h^3 b}{36}$

$s-t=b$

{yo}_{X do} = {yo}_{X T O L} - {yo}_{X T O R} = \frac{h^{3} s}{36} - \frac{h^{3} t}{36} = \frac{h^{3} segundo}{36}

$I_{xc} = I_{XTOL}-I_{XTOR}= \frac{h^3 s}{36}-\frac{h^3 t}{36}= \frac{h^3 b}{36}$

$I_{yc}$

$t=b-s$

{yo}_{y do} = {yo}_{Y T O L} + {yo}_{Y T O R} = \frac{1}{36} segundo h ({segundo}^{2} - segundo s + s^{2})

$I_{yc} = I_{YTOL}+I_{YTOR}= \frac{1}{36} b h \left(b^2-b s+s^2\right)$

$t=s-b$

{yo}_{y do} = {yo}_{Y T O L} - {yo}_{Y T O R} = \frac{1}{36} segundo h ({segundo}^{2} - segundo s + s^{2})

$I_{yc} = I_{YTOL}-I_{YTOR}= \frac{1}{36} b h \left(b^2-b s+s^2\right)$

Conclusión

$I_{xc}$ $\frac{h^3 b}{36}$

$I_{yc}$ $\frac{1}{36} b h \left(b^2-b s+s^2\right)$

$\frac{1}{36} b h \left(b^2+st\right)$ $t$ $t$

Cálculos

Usé Mathematica para los cálculos bastante tediosos.

Suba Thomas
fuente

El triángulo inclinado se puede obtener cortando una pieza del triángulo rectángulo, y puede calcular el momento de inercia o el segundo momento de área restando el triángulo rectángulo más pequeño del más grande utilizando la regla de Steiner. Puede expresar todas las dimensiones considerando su base y bordes utilizando funciones trigonométricas.

Katarina
fuente