¿Cómo calcular la fuerza de la palanca cuando la palanca tiene una carga distribuida uniforme?

Tenemos una palanca simple de clase 1:

$$\begin {array}{c} \text {5,000 kg} \\ \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \\ ==================== \\ \hphantom {==} \triangle \hphantom {==============} \\ \vdash \text{1 m} \dashv \vdash \hphantom {======} \text{4 m} \hphantom {======} \dashv \\ \end {array}$$

La palanca ( ) tiene 5 m de largo. El punto de apoyo ( ) está a 1 m de un extremo de la palanca. La palanca tiene un objeto que se asienta uniformemente y pesa 5,000 kg.$===$$\triangle$

¿Cómo calculo la fuerza hacia arriba que debe ejercerse al final del lado de 1 m de la palanca para mantenerla quieta? es simple cuando el peso se aplica al final de la palanca. Pero, ¿qué sucede si el peso se distribuye a lo largo de la palanca?$F = (W \times X)/L$

Nuestro objetivo final es atar el extremo libre (en el lado de 1 m) para mantener la palanca nivelada y necesitamos saber qué tan fuerte debe ser la correa.

Dado que la masa es de 5k kg y la palanca es de 5m, esto hace que sea bastante fácil de simplificar porque es exactamente 1k kg por m.

Los 2k kg (2m) más a la izquierda de la masa tienen su centro de masa exactamente por encima del punto de apoyo, por lo que se puede ignorar ya que no aporta ninguna contribución al momento. Esto deja 3k kg (3m) repartidos de 1m a 4m en el lado derecho. El centro de masa estará por lo tanto a 2.5m.

Ahora es súper simple, suponiendo que desea el momento en que la palanca está nivelada (es decir, cuando la gravedad tira hacia abajo, perpendicular a la palanca):

$$\text{torque} = rF = rmg$$

• $r$ es el radio (distancia) en m (2.5).
• $m$ es la masa en kg (3000).
• $g$ es la aceleración debida a la gravedad en (9.80665).$\text{ms}^{-2}$

$$\text{torque} = 2.5 * 3000 * 9.80665 = 73549.875 \text{ Nm}$$

Como su edición / actualización indica que está buscando la fuerza hacia arriba en el extremo de 1 m, este será el par (desde arriba) dividido por la distancia (1 m). Que es por lo tanto 73549.875 N.

En cualquier situación continua, simplemente usa la integración. La densidad de masa lineal de su bloque es 1000 kg / m. Ahora puede expresar el par debido a un corte infinitesimal de la barra de ancho en la posición como donde se mide desde el punto de apoyo. Finalmente, solo sumas todos los pequeños pares de cada segmento infinitesimal con integración. dxxdτ=(λdx)∗x∗gxτ=λg∫ 4 - 1 xdx=7.5gλ=73.5$\lambda=\frac{m}{\ell}=$$dx$$x$

$$d\tau=(\lambda dx) * x * g$$ $x$ $$\tau = \lambda g\int_{-1}^{4}x\ dx=7.5\ g\lambda=73.5\ \text{kN*m}$$

Para responder a la nueva pregunta, que en realidad es bastante diferente de la pregunta original, necesitará una fuerza descendente de 7500 g N en la punta izquierda para equilibrar las fuerzas.

Tomando momentos sobre su apoyo (que ahora es, de hecho, un pivote):

$$F_{\text{LHS free end}} * 1 = 5000*g * 1.5$$

$$F_{\text{LHS free end}} = 7500*g \text{ N}$$

En otras palabras, sí, puede tratar su carga distribuida como una carga puntual que actúa en el centro de la viga. Puede probar esto resolviendo esto mediante la integración de la carga distribuida.

Se puede considerar que una carga distribuida uniformemente actúa en su centro. Trabajando en kg ym:

Momento en sentido horario sobre el extremo izquierdo = 5000 * 2.5 = 12500 Momento en sentido antihorario sobre el extremo izquierdo = F * 1 (donde F es la reacción en el punto de apoyo)

Deben ser iguales para que esté equilibrado, dando F = 12500 kg

Resolviendo verticalmente (la fuerza hacia abajo total debe ser igual a la fuerza hacia arriba total), tomando T como la reacción en la correa: T + 5000 = 12500, por lo tanto T = 7500kg.

O convertir a N (como dices que quieres una fuerza, y kg es masa no fuerza) entonces T = 7500 * 9.81 = 73575N = 73.6kN

El efecto de cualquier fuerza a lo largo de una palanca es proporcional a su distancia desde el punto de apoyo. Esta relación lineal agradable funciona de manera que para una masa rígida, simplemente puede modelarla como una masa puntual en su centro de masa.

Para los efectos de peso (fuerza debida a la masa y la gravedad), lo que importa es la distancia horizontal desde el punto de apoyo hasta el centro de masa. Si define X a la derecha e Y arriba en su diagrama, entonces la coordenada Y de la masa es irrelevante. Sin embargo, tenga en cuenta que cuando la palanca se mueve, la coordenada X de la masa también se mueve, especialmente cuando no está justo en el brazo de la palanca. Para pequeños movimientos de la palanca, puedes ignorar esto.

Dicho de manera más matemática, el torque en el fulcro es el vector desde el fulcro hasta el centro de masa, cruza la fuerza gravitacional sobre esa masa. Como este último siempre está abajo (-Y) en este ejemplo, solo la componente X del vector a la masa es importante para obtener la magnitud del toque.