Resistencia interna de una batería

Estoy tratando de averiguar dónde me equivoqué en el siguiente problema:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Las dos baterías son idénticas y cada una tiene un voltaje de circuito abierto de 1.5V. La lámpara tiene una resistencia de 5 cuando está encendida. Con el interruptor cerrado, se miden 2.5V a través de la lámpara. ¿Cuál es la resistencia interna de cada batería?$\Omega$

(Problema 2.1 en Agarwal y Lang's, Fundamentos de los circuitos electrónicos analógicos y digitales ). Tenga en cuenta la respuesta impresa al final del libro: 0.5 .$\Omega$

Aquí está mi solución:

Paso 1

Use la ley de elementos para encontrar la corriente, , a través del foco. v = i R → i 1 = ${i}_{1}$

$$v=iR \rightarrow {i}_{1} = \frac{v}{{R}_{bulb}}=\frac{2.5V}{5\Omega}=\frac{1}{2}A.$$ Paso 2

Modele la resistencia interna de cada batería como una resistencia. Indique la resistencia equivalente de las dos resistencias en serie.

$${R}_{eq}={R}_{1}+{R}_{2}=2{R}_{n}$$ Paso 3

Según la Ley de Voltaje de Kirchoff, la diferencia de potencial entre las dos baterías debe ser igual y opuesta a la diferencia de potencial a través de la lámpara. Combino la ley de elementos con la expresión anterior de la siguiente manera:

$$v={i}_{2}{R}_{eq} \rightarrow {R}_{n}=\frac{1}{2}\frac{v}{{i}_{2}} (eqn. 1)$$ Etapa 4

Según la ley actual de Kirchoff, la suma de las corrientes en cualquier nodo es cero.

$${i}_{1}-{i}_{2}=0 \rightarrow {i}_{2}={i}_{1} (eqn.2)$$ Paso 5

Combinar ecuaciones. 1 y 2 para encontrar , la resistencia interna de una sola batería. R n = ${R}_{n}$

$${R}_{n}=\frac{1}{2}\frac{v}{{i}_{1}}=2.5\Omega$$

Conclusión

Después de reflexionar sobre el enunciado del problema, especialmente la parte de voltaje de circuito abierto, sé que estoy cometiendo alguna falacia lógica. Sin embargo, no puedo verlo solo. ¿Qué hice mal? ¿No debería imaginar que la resistencia interna de las baterías se puede modelar como una resistencia? ¿Un enfoque de energía / potencia sería más adecuado para este problema?

Creo que su idea errónea ocurre en el paso 3:

Según la Ley de Voltaje de Kirchoff, la diferencia de potencial entre las dos baterías debe ser igual y opuesta a la diferencia de potencial a través de la lámpara. Combino la ley de elementos con la expresión anterior de la siguiente manera [...]

Esto no es cierto o al menos no está escrito con la suficiente precisión. Tal vez deberías dibujar el circuito completo para que sea más fácil de entender:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Ahora aplique la ley de voltaje:

$$V(BAT1) + (-I\times R1) + V(BAT2) + (-I\times R2) + (-I\times R(LAMP1)) = 0$$ $$2 V_{bat} - I\times 5\ \Omega = 2 I\times X$$ $$\frac{V_{bat}}{I} - \frac{1}{2}\times 5\ \Omega = X$$ $$\frac{1,5\ V}{0,5\ A} - \frac{1}{2}\times 5\ \Omega = X$$ $$X = 0.5\ \Omega$$

Omití la corriente a través del medidor de voltaje (se supone que es ideal), por lo que no es necesario aplicar la ley de corriente ya que solo una corriente conocida fluye en el circuito.

Lo hiciste demasiado complicado. La corriente de la batería es de 0,5 A, como dijiste. Ese 0.5A está causando una caída de 0.5V en el voltaje de la batería debido a la resistencia combinada en serie de las baterías. Podemos usar la ley de Ohm. Vdrop = Ibatt * Rbatt.

Entonces, Rbatt = 0.5V / 0.5A = 1 Ohm. Pero esa es la serie de resistencia combinada. Por lo tanto, cada batería contribuye con 0,5 ohmios al total.

El error en el análisis está en la ecuación 1. La ecuación correcta es,

$V_{Bat1}+V_{Bat2}-i_2R_{eq}=v$

En una nota lateral, la resistencia interna surge debido a la movilidad del electrolito, la concentración, el área de superficie de los electrodos y la longitud entre los electrodos. El voltaje surge debido a los potenciales redox de los electrodos y existe la ecuación más precisa para la concentración.