¿Por qué usar números complejos para representar la amplitud y la fase de AC?

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¿Por qué es que en los circuitos de CA, las ondas sinusoidales se representan como un número complejo en forma polar? No entiendo lógicamente desde una perspectiva física por qué hay una parte imaginaria en absoluto. ¿Es puramente desde un punto de vista matemático facilitar el análisis de los circuitos?

ac circuit-analysis Prevost
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Posible duplicado: electronics.stackexchange.com/questions/28285/…

clabacchio

8

Cita: "¿Es puramente desde el punto de vista matemático facilitar el análisis de los circuitos?"

No estoy seguro si esta parte de la pregunta ya fue respondida suficientemente. Por lo tanto: Sí, el uso de matemáticas complejas para describir señales sinusoidales no tiene relevancia física directa. Es solo para "facilitar los análisis".

Como ejemplo: la introducción de la famosa fórmula de Euler para señales sinusales en la serie de Fourier conduce a frecuencias negativas (simétricas a frecuencias positivas). Por lo tanto, surge la pregunta: ¿existen en realidad frecuencias negativas? ¡La respuesta es no! Es solo una herramienta matemática útil.

LvW
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Eso es exactamente lo que me preguntaba.

Prevost

83

En realidad, la motivación es bastante simple.

Cuando tiene un circuito lineal y lo estimula con una sola frecuencia, donde quiera que mire siempre encontrará esa misma frecuencia, solo la amplitud y la fase de la onda que mide cambian.

Lo que haces es decir, bueno, olvidemos la frecuencia, si hago un seguimiento de la amplitud y fase de los voltajes y / o corrientes alrededor del circuito, será más que suficiente. Pero, ¿cómo puedes hacer eso? ¿No hay alguna herramienta matemática que le permita realizar un seguimiento de la amplitud y la fase? Sí, lo tienes: vectores. Un vector tiene una amplitud, es decir, su longitud, y una fase, que es el ángulo que forma con el eje x, la dirección ccw es positiva.

Ahora puedes objetar: los vectores bien son geniales, pero ¿no hay nada más genial? ¿Y por qué necesitamos usar la unidad imaginaria?

La respuesta a la segunda pregunta es fácil: hacer cálculos con vectores es bastante doloroso, un dolor de notación:

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 7 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 10 \end{matrix})

$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$

¡Y eso es solo! Bueno, eso es solo un problema de notación, si elegimos otra base de cosas pueden ser mejores ... Y esta base existe, pero requiere la unidad imaginaria . El desastre anterior se convierte en: Mucho más fácil, ¿no? $\mathbb{R}^2$ $j$

2 + 3 j + 1 + 7 7 j = 3 + 10 j

$2+3j+1+7j=3+10j$

Ok, pero ¿qué tiene un vector imaginario en común con un voltaje? Bueno, trate de imaginar el plano de Gauss, el eje x es el eje real, el eje y es el imaginario.

$\omega$

buen fasor

Bam Eso es lo que llamamos un fasor , y ese pequeño es el arma más fuerte que tienes contra los circuitos difíciles.

Entonces, ¿por qué son especiales estos fasores? Esto se debe a que si toma dos voltajes reales:

v_{1} (t) = V_{1} \cos (2 π F_{0 0} t + θ_{1}) v_{2} (t) = V_{2} \cos (2 π F_{0 0} t + θ_{2})

$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$

ingrese la descripción de la imagen aquí

Y lo mejor es que todo el análisis de circuito real que ha estudiado hasta ahora sigue funcionando con fasores e impedancias complejas. Es decir: la ley de Ohm se mantiene con fasores e impedancias complejas , y eso es genial ya que tenemos un montón de herramientas para resolver circuitos que se basan en las leyes de Ohm y Kirchhoff, y aún podemos usarlos.

Con los fasores, la derivada / integración también es súper fácil: como saben, ya que estamos hablando de senos y cosenos a la misma frecuencia , solo es cuestión de cambio de fase, y eso, sorpresa, es muy claro si usa el Representación exponencial compleja.

TL; DR: los sinusoides se representan como vectores rotativos en el plano polar, es más o menos como detener el tiempo mientras giran y toman una foto, es decir, calculan las relaciones de fase y amplitud. Solo echa un vistazo a la página fasorial en wikipedia. Y revise esta otra respuesta más concisa también.

Vladimir Cravero
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77

Buenas fotos pwretty me gusta +1

Andy aka

Otra cosa que es agradable acerca de la representación compleja: la derivada de un exponencial complejo es solo otro exponencial complejo con un cambio de fase. Por lo tanto, no es necesario realizar un seguimiento de si está utilizando seno o coseno. (Eso, por supuesto, está implícito en su punto sobre un circuito controlado por una sola frecuencia, pero creo que es un buen punto para ser explícito.)

Semiclassical

Se pasa por alto lo realmente genial que hace que los números complejos sean mejores que los vectores: E = IR funciona con números complejos.

supercat

Eso está justo por encima de la sección tldr ...

Vladimir Cravero

Niza (+1). ¿Puedes agregar dos fasores de extremo a extremo para mostrar la modulación de amplitud y luego hacer el cambio de fase de 90 grados para FM? (La mayoría de las veces me gustaría ver un diagrama de fasor FM en un índice de modulación alto. Me resulta difícil visualizar eso)

George Herold,

1

Lo principal a tener en cuenta es que cualquier señal periódica (con algunas restricciones analíticas básicas que se aplican en la práctica o se aplican a un grado arbitrario si no exactamente) se puede representar como una suma de señales seno y coseno con una frecuencia que es un múltiplo de El período de la señal.

Ahora, una vez que abandonas el reinado de la respuesta directa (como las resistencias), la energía se puede almacenar y recuperar. Las bobinas almacenan energía magnética (la aplicación de voltaje y corriente solo comienza gradualmente pero continúa cuando la tensión se corta), los condensadores almacenan energía eléctrica (la aplicación de corriente y voltaje solo comienza gradualmente pero continúa cuando la corriente se descompone), las masas convierten la fuerza gradualmente en impulso , los resortes convierten gradualmente el impulso en fuerza y así sucesivamente.

Muchas formas de poder son básicamente el cuadrado de alguna medida de excitación. Ahora resulta que la suma de los cuadrados del seno y el coseno del mismo argumento es 1. Una constante. Así que está muy bien describiendo la conversión periódica de energía usando senos y cosenos.

Resulta que el álgebra que usa senos y cosenos es tenue. Si agrega un término imaginario que representa la forma de energía de su señal periódica que no le interesa, y desecha cualquier parte imaginaria que quede después de que haya terminado, las manipulaciones algebraicas se vuelven mucho más directas a costa de que las variables reales sean complejas .

usuario53147
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1

Digamos que tenemos un circuito simple con una fuente de voltaje $v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$ conectado en serie con una bobina inductiva con inductancia $L$ . Luego,

v (t) = R mi {V {mi}^{j (ω t + ϕ)}} = L \frac{re yo}{re t} R mi {V {mi}^{j (ω t + ϕ)}} re t = L re yo \int R mi {V {mi}^{j (ω t + ϕ)}} re t = L \int re yo R mi {\int V {mi}^{j (ω t + ϕ)} re t} = L yo (t) R mi {\frac{1}{j ω} V {mi}^{j (ω t + ϕ)}} = L yo (t) yo (t) = R mi {\frac{1}{j ω L} V {mi}^{j ϕ} {mi}^{j ω t}}

$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$

¿Qué nos compra esto? Bueno, simplemente podemos tratar la bobina como una resistencia con valor $j\omega L$ Entonces podríamos reemplazar $v(t)$ con la constante $v_o = Ve^{j\phi}$ . En este circuito simplificado usamos la ley de ohm para encontrar $i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$ . Luego, para encontrar el valor real de $i(t)$ simplemente multiplicamos $i_o$ con $e^{j\omega t}$ y toma su parte real. Esto se puede extender a todos los componentes pasivos. Por lo tanto, podemos modelar todas las cantidades alternas con números complejos, simplificando todos los cálculos en el proceso. Luego podemos volver a cambiarlos a su forma no compleja cuando sea necesario.

Veritas
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Supongo que estamos de acuerdo en que hay dos piezas de información para representar una señal de CA en cualquier instante, amplitud y fase, mientras que solo es amplitud para CC.

No es solo un análisis donde necesitamos manipular información, sino también el diseño de circuitos. Los componentes tienen impedancia y producen señales de CA. Entonces, cuando estamos diseñando, necesitamos poder calcular impedancias para diseñar un circuito con propiedades de CA específicas.

Los números complejos son convenientes para representar y calcular tanto las señales de CA como la impedancia. Las dos dimensiones, longitud y ángulo, nos permiten calcular la amplitud y la fase juntas, y mantenerlas consistentes.

gbulmer
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¿Por qué usar números complejos para representar la amplitud y la fase de AC?

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