¿Por qué se utiliza el cuadrado medio de la raíz al calcular la potencia promedio, y no simplemente el promedio de voltaje / corriente?

$$P = I_{\text{eff}}^2 \times R$$ donde$I_{\text{eff}}$ es la corriente efectiva. Para que la potencia sea promediodebo ser la corriente promedio, por lo que supongo que la corriente efectiva es la corriente promedio.$I$

En ese caso, ¿por qué $I_{\text{eff}}$ no es simplemente

$$I_{\text{eff}} = \frac{1}{t}\int_{0}^{t} |i|dt$$

En cambio, se define así:

$$I_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{t}\int_{0}^{t} i^2dt}$$

Por lo tanto, el uso de estas dos expresiones para calcular $P$ da como resultado diferentes respuestas.

¿Por qué esto es tan? No tiene sentido para mí. Solo puedo adivinar que estoy malinterpretando que la corriente efectiva es la corriente promedio. Sin embargo, si este no es el caso, no veo cómo puede ser la potencia promedio cuando I eff no es la corriente promedio.$P$$I_{\text{eff}}$

Tome un ejemplo simple donde las sumas son triviales. Tengo un voltaje que está encendido el 50% del tiempo y apagado el 50% del tiempo. Es de 10V cuando está encendido. El voltaje promedio es por lo tanto 5V. Si conecto una resistencia de 1 ohm a través de ella, se disipará 100W cuando esté encendido y 0W cuando esté apagado. La potencia media es por lo tanto 50W.

Ahora deje el voltaje encendido todo el tiempo pero hágalo 5V. El voltaje promedio sigue siendo de 5V, pero la potencia promedio es de solo 25W. Ups

O supongamos que tengo el voltaje solo el 10% del tiempo, pero es 50V. El voltaje promedio es de 5V nuevamente, pero la potencia es de 2500W cuando está encendida y 0W cuando está apagada, por lo que un promedio de 250W.

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En realidad, para calcular la potencia en general , debe integrar (voltaje instantáneo) * (corriente instantánea) durante un período de la forma de onda para obtener el promedio (o de 0 a algún tiempo t como en su ejemplo para encontrar la potencia en algún intervalo) .

Si (y es un gran si) la carga es una resistencia fija R , puede decir que v = i * R, por lo que la potencia instantánea es i ^ 2 * R y luego puede integrar i ^ 2 durante el período para obtener el " RMS current ", y multiplique por R más tarde (ya que está arreglado, no entra en la integral).

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La corriente RMS no es particularmente útil si la carga es algo no lineal como un diodo. Puede ser útil para analizar pérdidas en algo como un condensador con un ESR dado. Las pérdidas (y el efecto de calentamiento resultante que acorta la vida útil del condensador) serán proporcionales a la corriente RMS, no al promedio.

Para que la potencia sea promedio, debo ser la corriente promedio, por lo que supongo que la corriente efectiva es la corriente promedio.

En resumen, el voltaje promedio x la corriente promedio solo es igual a la potencia promedio cuando el voltaje y la corriente son cantidades de CC. Piense en el siguiente ejemplo: -

Si aplicara 230 V CA desde su toma de corriente de la red pública a un elemento calefactor, se calentaría o incluso calentaría. Está tomando el poder por el que se le puede facturar. 230 V CA es una onda sinusoidal y todas las ondas sinusoidales tienen un valor promedio de cero. La corriente resultante que fluye a través del elemento calefactor también es una onda sinusoidal con un valor promedio de cero.

Entonces, el uso de voltaje promedio x corriente promedio produce una potencia promedio cero y claramente eso está mal. Es el voltaje RMS x la corriente RMS lo que dará una respuesta significativa (independientemente de si se trata de CC o CA).

Debe volver a lo básico y preguntarse qué potencia es: es voltaje x corriente y estos son valores instantáneos multiplicados. Esto da como resultado una forma de onda de potencia como esta:

Debido al acto de multiplicación, la forma de onda de potencia ahora tiene un valor promedio que no es cero . Dando un paso más allá, si la resistencia de carga fuera de 1 ohmio, la amplitud de la corriente será igual a la amplitud del voltaje aplicado, por lo que la potencia se convierte en el promedio de .$v^2$

Esto nos lleva a decir que la potencia es the mean of the square of voltage(o corriente) y, dado que hemos elegido 1 ohm en este ejemplo, también podemos decir que el voltaje efectivo que produce esta potencia es el valor square root of the mean of the voltage squaredo "RMS".

Entonces, para una onda sinusoidal de amplitud máxima $v_{pk}$$v^2_{pk}$

$\dfrac{v^2_{pk}}{2}$$\sqrt{\dfrac{v^2_{pk}}{2}}$$\dfrac{v_{pk}}{\sqrt{2}}$

En efecto, el valor RMS de un voltaje (o corriente) de CA es el valor equivalente de un voltaje (o corriente) de CC que produce el mismo efecto de calentamiento en una carga resistiva.

Entonces, no, el voltaje promedio o la corriente promedio es irrelevante, pero la potencia promedio es el rey.

El diablo está en los detalles cuando trabajas las matemáticas.

$P_\text{inst} = i^2 \cdot R$

$$P_\text{avg}= \overline{P_\text{inst}} = \overline{i^2 \cdot R} =\overline{i^2} \cdot R = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2dt \cdot R$$

$$P_\text{avg}=I_\text{eff}^2 \cdot R$$ $$I_\text{eff}^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt$$ $$I_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt}$$

$$\int_{a}^{b}i^2 \ dt \neq\Big[\int_{a}^{b}i \ dt\Big]^2$$

$\frac{1}{T}$

En resumen, es porque las matemáticas no funcionan de esa manera.

La potencia promedio es solo la integral del trabajo, durante un período de tiempo finito, dividido por ese período de tiempo. Para su caso, cada instante de trabajo es:

$$\textrm{d}U = P_t\cdot \textrm{d}t =R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

Entonces, integra eso para obtener el trabajo total durante un período finito y luego, para convertirlo en un valor de potencia promedio, simplemente lo divide por el período finito. O:

$$\overline{P}=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

Si $R_t$ es una constante en el tiempo, entonces:

$$\overline{P}=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

Pero si desea construir ahora algún tipo de corriente efectiva ficticia que se ajuste al$R\cdot I_{eff}^2$ modelo, entonces por simple inspección de la ecuación anterior debe ser el caso que:

$$\begin{align*} \overline{P}=R\cdot I_{eff}^2=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \\ \therefore~~~~~~~~~~~~~ I_{eff}^2 &=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \end{align*}$$

Es solo una sustitución equivalente, ¿verdad?

Y luego obviamente:

$$\begin{align*} I_{eff} &=\sqrt{\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t} \end{align*}$$

Si comienzas cosas para que $t_0=0$ y establecer $t_1=t$entonces obtienes tu propia ecuación. Es así de fácil, de verdad.

Imagine que dos corrientes fluyen simultáneamente a través de su carga:

• Corriente continua de 1A
• Corriente CA con amplitud de 1A

La corriente total se verá más o menos así:

Ahora, si aplicamos su fórmula para $I_{eff}$, obtendremos 1A, como si el componente de CA produjera energía cero. Espero que esté de acuerdo en que esto tiene aún menos sentido que la fórmula original.

Considerar $R=1\Omega$yy una corriente de 1A por un segundo y 10A por otro segundo. ¿Cuál es el poder promedio?

Obviamente es

$$\bar{P}=\frac{1s\cdot 1A^2\cdot 1\Omega+1s\cdot 10A^2\cdot 1\Omega}{2s}=50.5W$$

Reescribamos esto:

$$\bar{P}=1\Omega*\underbrace{\left(\frac{1s\cdot 1A^2+1s\cdot 10A^2}{2s}\right)}_{=I_{eff}^2}$$

Por otro lado, la corriente promedio es de 5.5A, lo que da una "potencia promedio" de 30.25W.

El punto es que la fórmula de potencia contiene el cuadrado de la corriente, por lo que la corriente efectiva es mayor que solo el promedio del (valor absoluto de) la corriente.

Permítanme poner esto en términos más generales: la potencia instantánea P (t) disipada sobre una carga es un producto (en sentido matemático como multiplicación) de V (t) e I (t). O I (t) * I (t) / R para el caso. La potencia promedio es, por lo tanto, un promedio [I (t) * I (t)] / R. La paradoja está en el conocido teorema matemático de que un promedio de un producto de funciones variables no es igual al producto de sus promedios ,

[(V (t) I (t)]! = [V (t)] * [I (t)];

equivalentemente

[I (t) ^ 2]! = [I (t)] * [I (t)]

Para ilustrar este problema de cálculo básico hasta el extremo, suponga que tiene una carga de resistencia de 1 Ohm, y el voltaje se pulsa como 10 V para un ciclo de trabajo del 10%, 10% hacia arriba, 90% sin voltaje. La potencia real disipada es 10V * 10A = 100W para el 10% del ciclo de trabajo, y cero para el resto del ciclo de trabajo. Entonces, la potencia promedio disipada por esta resistencia es de 10W .

Ahora, si toma (¡o incluso mide!) Los promedios por separado usando medidores separados, el promedio [V] de esta forma de onda pulsada se elevará como 1V, y el promedio de I será como 1A. Multiplicando los resultados medidos, se podría llegar a la conclusión de que la potencia consumida por este "dispositivo" es de solo 1W, ¡lo cual será totalmente incorrecto por un factor de 10!

Este es un error típico en muchas disciplinas y aplicaciones. Por ejemplo, este error se basa en muchas afirmaciones falsas de algunos calentadores de agua mágicos que producen más potencia que la "electricidad consumida", generalmente explicada por "fusión en frío", o alguna otra BS. Incluso hay patentes otorgadas en estos "calentadores pulsados".