27

Digamos que tengo un seno de 1kHz, así que no hay armónicos más altos, entonces necesito muestrearlo al menos a 2kHz para poder reconstruirlo.
Pero si muestro a 2kHz, pero todas mis muestras están en el cruce por cero, entonces mi señal muestreada no muestra un seno, sino el ECG de un paciente fallecido. ¿Cómo se puede explicar eso?

Esto también se puede ampliar a frecuencias de muestreo más altas. Si muestreo una forma de onda más compleja a 10 kHz, al menos debería obtener los primeros 5 armónicos, pero si la forma de onda es tal que las muestras son cada vez cero, entonces nuevamente no obtenemos nada. Esto no es descabellado, es perfectamente posible para una onda rectangular con un ciclo de trabajo <10%.

Entonces, ¿por qué el criterio de Nyquist-Shannon parece ser inválido aquí?

analysis Federico Russo
fuente

77

El criterio de Nyquist es un mínimo. Otros problemas, como el alias, pueden requerir un muestreo más alto u otras contramedidas.

drxzcl

¡Guauu! ¡3 respuestas para 6 vistas!

Federico Russo

@FedericoRusso Tienes una tendencia a hacer buenas preguntas

m.Alin

1

En pocas palabras: en su ejemplo, el muestreo de un seno de 1kHz a 2kHz alias la señal a la de un seno de 0Hz, lo que resulta en el paciente muerto.

Phil

26

En realidad, necesita una frecuencia de muestreo de poco más de 2 kHz para muestrear ondas sinusoidales de 1 kHz correctamente. Es no

f_{N} < f_{S} / 2

$f_N < f_S / 2$

f_{N} \leq f_{S} / 2

$f_N \le f_S / 2$

PD Si llevó su señal al espacio complejo, donde una sinusoide tiene la forma donde t es tiempo, A es amplitud, f es frecuencia y θ es desplazamiento de fase, es el punto donde la frecuencia "se pliega", es decir no puedes distinguir f de -f . Aparecerán aumentos adicionales en la frecuencia, después del muestreo, para restarles la frecuencia de muestreo, en el caso de una sinusoide pura.

v (t) = A e^{j (2 π f t - θ)} = A (\cos (2 π f t - θ) + j \sin (2 π f t - θ))

$v(t) = Ae^{j(2 \pi f t - \theta)} = A(\cos(2 \pi f t - \theta) + j \sin(2 \pi f t - \theta))$

f_{N} = f_{S} / 2

$f_N = f_S / 2$

No sinusoides

Para el caso de una onda cuadrada a 1 kHz con un ciclo de trabajo menor o igual al 10% que se muestrea a 10 kHz, está malinterpretando la entrada.

Primero, necesitaría descomponer su forma de onda en una serie de Fourier para descubrir cuáles son las amplitudes de los armónicos componentes. ¡Probablemente se sorprenderá de que los armónicos para esta señal sean bastante grandes después de 5 kHz! (La regla general del tercer armónico es 1/3 tan fuerte como el fundamental, y el quinto es 1/5 del fundamental, solo se aplica al 50% de las ondas cuadradas del ciclo de trabajo ).

La regla general para una señal de comunicaciones es que su ancho de banda complejo es el mismo que el inverso del tiempo de su pulso más pequeño, por lo que en este caso está buscando un ancho de banda mínimo de 10 kHz (-5 kHz a 5 kHz) para un ciclo de trabajo del 10% con el fundamental a 1 kHz (es decir, 10 kbps).

Entonces, lo que lo arruinará es que estos fuertes armónicos de orden superior se doblarán e interferirán (de manera constructiva o destructiva) con sus armónicos dentro de la banda, por lo que se espera perfectamente que no obtenga un buen muestreo porque hay mucha información fuera de Nyquist banda.

Mike DeSimone
fuente

1

Sin embargo, eso no explica el segundo ejemplo, donde la frecuencia de la muestra es 10 veces la frecuencia groung

Federico Russo

Sí, me perdí eso. Agregado a mi respuesta. Una cosa divertida para pensar: el cable de categoría 5e, que puede transportar datos Gigabit Ethernet, tiene un ancho de banda específico de 100 MHz. Cat 6 va a 250 MHz y cat 7 va a 750 MHz.

Mike DeSimone

¿Entonces eso significaría que para la amplitud y fase de la señal pulsada para cada armónico tiene un mapeo a un armónico reflejado con exactamente la misma fase, pero amplitud invertida?

Federico Russo

@ Federico: "doblar" en este caso significa reflejar la frecuencia de Nyquist. Entonces, si está muestreando a 10 kHz e intenta muestrear un seno de 11 kHz, obtendrá una salida de 9 kHz. Intente muestrear 13 kHz y obtendrá 7 kHz en su lugar.

endolith

1

Para el último comentario, el ejemplo es cuando miras los autos en la televisión: cuando la velocidad de rotación se aproxima a un múltiplo de la velocidad de fotogramas, la rueda parece desacelerarse hasta que está quieta, y luego comienza a girar en el sentido opuesto.

clabacchio

8

Mike lo explica bien: es el alias lo que hace que los armónicos desaparezcan en la señal muestreada, el plegamiento de las frecuencias más altas de a . Cuando trabaje con señales muestreadas, siempre debe asegurarse de filtrar cualquier cosa por encima de . $F_S + f$ $F_S - f$
$F_S / 2$

ingrese la descripción de la imagen aquí

En este espectro, la parte azul es el espectro de la señal de su banda base desde a . (Ver esta pregunta sobre frecuencias negativas). Tenga en cuenta que este espectro se repite alrededor de cada múltiplo de . En este ejemplo no hay problema; La señal original se separa de las imágenes y se puede reconstruir. $-F_S / 2$ $F_S / 2$
$F_S$

ingrese la descripción de la imagen aquí

En este ejemplo (solo se muestran las frecuencias positivas) podemos ver que la señal de la banda base se extiende más allá de . Debido a que los alias plegables se superponen con nuestra señal base, y no hay forma de que podamos filtrarlos nuevamente. Es por eso que necesita un filtro de paso bajo (nítido). $F_S / 2$

Ahora puede decir que el pulso se verá completamente diferente después del filtrado de paso bajo, y eso es correcto, pero si no quiere que haya elegido su frecuencia de muestreo demasiado baja. (Para una señal discontinua como el pulso, que tiene un espectro infinito, siempre tendrá distorsión, sea cual sea su ). Recuerde que puede reconstruir la señal solo para frecuencias más pequeñas que . $F_S$ $F_S / 2$

stevenvh
fuente

1

+1 para las fotos. Hazlo mucho más claro.

Federico Russo

Yay fotos! Debería usarlos más a menudo, pero me divierto demasiado con el arte ASCII. De todos modos, toda esa superposición en la figura 2 podría ser útil si las frecuencias que realmente usa están completamente dentro de la parte no superpuesta, pero esto no es común fuera de la modulación sigma-delta.

Mike DeSimone

En algunos casos, puede estar bien dejar pasar el material de muestreo que está por encima de Fs / 2, si uno, después del muestreo, elimina cualquier cosa que esté en las frecuencias alias. Por ejemplo, si uno quiere terminar con audio muestreado a 8,000Hz pero no filtrar cosas por debajo de 3,500, puede ser difícil hacer un filtro tan nítido utilizando circuitos analógicos. Por otro lado, si uno comienza muestreando a 16,000Hz y filtra digitalmente cosas por encima de 4,000Hz, uno solo necesitaría un filtro analógico que atenúe cosas por encima de 12KHz mientras mantiene cosas por debajo de 4KHz. Cualquier cosa entre 4-12Khz sería un alias de 4-8Khz.

supercat

@supercat: su filtro anti-alias siempre debe ser analógico. Estoy de acuerdo con tu punto sobre el filtro analógico, pero los números que estás usando son incorrectos. 4-12kHz tendrá un alias de 4-12kHz, no 8kHz. (Puede ver esto fácilmente si verifica los anchos de banda, que deberían ser iguales.)

stevenvh

@stevenvh: Normalmente, el resultado del muestreo se describe únicamente en términos de frecuencias en Nyquist o debajo, creo, aunque cada frecuencia por debajo de Nyquist tendrá un alias entre Nyquist y la frecuencia de muestreo. Mi punto es que si uno planea filtrar digitalmente cualquier cosa por encima de 4KHz, no tiene que preocuparse de que las frecuencias entre 8KHz-12Khz se vuelvan a plegar al rango 4KHz-8KHz; ya que se filtrarán de todos modos. Casi siempre se necesita algún tipo de filtro antisolapamiento analógico, pero en muchos casos el sobremuestreo puede facilitar considerablemente los requisitos. Es ...

supercat

1

El teorema está bien. Su señal NO debe contener frecuencias iguales o superiores a la mitad de la frecuencia de muestreo, según Nyquist. Shannon probablemente lo permite, pero es su versión del teorema, lo que probablemente causa ambigüedad en la frecuencia crítica.

Editar (Re: ¿votación negativa para una respuesta corta?): No veo la necesidad de explicar el método de muestreo en sí. La pregunta es acerca de la confusión "es la frecuencia crítica incluida en la banda o no", y si la redacción del teorema de Shannon contiene fallas. En realidad lo hace (como lo veo en la wiki mundial). O lo más probable es que los autores de la wiki hayan citado su palabra con precisión. Y, por cierto, hay 4 autores independientes en el siglo XX de este mismo teorema, por lo que la confusión de cualquiera que aprenda la idea de fuentes aleatorias puede empeorar.

fuente

Si su entrada de muestreo no tiene algún tipo de filtro de paso bajo, no se debe filtrar nada; Todos los armónicos deben doblarse y potencialmente interferir entre sí. Algunas radios modernas usan el plegado de frecuencia Nyquist como un desplazador de banda mediante el uso de un ADC de entrada de banda ancha con un filtro de paso de banda en el extremo frontal.

Mike DeSimone

@ Mike DeSimone: Gracias por explicar el efecto de aliasing, pero nuevamente, la pregunta no se trata de la reconstrucción de "fin de banda", no "dentro de banda" o "fuera de banda".

0

Si tiene 2 muestras en una onda sinusoidal de , y ocurren en los cruces por cero, en y , puede determinar la frecuencia de la señal por el tiempo entre las dos muestras . $N Hz$ $\frac{1}{2}N$ $1N$

$f=\dfrac{1}{2t}$

Donde es la frecuencia es el tiempo entre dos muestras de cruce por cero. $f$ $t$

Pero según Wikipedia:

En esencia, el teorema muestra que una señal analógica con límite de banda que se ha muestreado puede reconstruirse perfectamente a partir de una secuencia infinita de muestras si la frecuencia de muestreo supera las 2B muestras por segundo, donde B es la frecuencia más alta en la señal original.

Por lo tanto, una frecuencia de muestreo del doble de la frecuencia es incorrecta: debería ser un poco más del doble de la frecuencia. De esa manera, las muestras sucesivas capturan porciones ligeramente diferentes de la forma de onda.

Majenko
fuente

Como también le dije a Mike: sin embargo, eso no explica el segundo ejemplo, donde la frecuencia de la muestra es 10 veces la frecuencia de groung

Federico Russo

Una onda rectangular tiene unos armónicos increíblemente altos. Nyquist afirma que es por poco más del doble de la frecuencia más alta. La frecuencia más alta podría ser cientos, si no miles de veces mayor que un ciclo de trabajo del 50%.

Majenko

También es para una señal continua : una onda rectangular PWM al 10% de servicio no es continua. Se podría decir que un PWM del 50% es una señal continua para la frecuencia más baja (el ciclo de trabajo), pero no para las frecuencias más altas.

Majenko

@Matt: cada señal es cintinua para la frecuencia más baja, ya que todas las frecuencias de composición son senos, según Fourier. También es perfectamente posible hacer que el pulso de Federico sea continuo y aún tener el mismo resultado muestreado.

stevenvh

0

Cuando se muestrea a una velocidad particular F, cada componente de frecuencia f generará alias de la forma kF + f y kF- f para todos los valores enteros de k. En el uso común, no hay componentes de frecuencia por encima de F / 2 cuando se muestrea la señal, por lo que los únicos componentes en el rango de 0 a F / 2 serán los que estaban presentes en la señal original. Después del muestreo, habrá componentes de señal por encima de F / 2 (generados como alias de los siguientes). El más problemático de estos para cualquier frecuencia f en la señal original será el de la frecuencia F- f .

Tenga en cuenta que como frecuencia fse aproxima a F / 2 desde abajo, la primera frecuencia de alias se acercará a F / 2 desde arriba. Si la entrada contiene una señal a la frecuencia F / 2-0.01Hz, habrá un alias en la frecuencia F / 2 + 0.01Hz, solo 0.02Hz por encima. La separación de las señales originales y alias será teóricamente posible, pero en la práctica difícil. La forma de onda muestreada aparecerá como la suma de dos ondas de igual intensidad de frecuencia casi igual. Como tal, su amplitud parecerá cambiar con la fase relativa de las ondas de frecuencia más alta. En el caso de que la frecuencia de entrada sea exactamente F / 2, la frecuencia de alias también será exactamente F / 2. Como no habrá separación de frecuencia entre el original y el alias, la separación será imposible. La relación de fase entre las señales originales y con alias determinará la amplitud de la señal resultante.

Super gato
fuente

Desconcertado por la frecuencia de Nyquist

Respuestas:

No sinusoides