Asignación justa y eficiente de "bienes familiares"

Considere una economía de intercambio con dos bienes, por ejemplo, muebles para el hogar (x) y equipos eléctricos (y). Lo interesante de estos productos es que, cuando una familia posee un paquete, todos los miembros de la familia disfrutan del mismo paquete (es como un "club bueno" pero solo para la familia).

Hay dos familias. En cada familia, hay diferentes miembros con diferentes preferencias sobre los paquetes. Suponga que todas las preferencias son monotónicamente crecientes y estrictamente convexas.

Una asignación es un par de paquetes, $(x_1,y_1)$ para la familia 1 y para la familia 2.$(x_2,y_2)$

Una asignación se llama libre de envidia si:

• Todos los miembros de la familia 1 creen que es al menos tan bueno como ;$(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)$
• Todos los miembros de la familia 2 creen que es al menos tan bueno como .$(x_2,y_2)$$(x_1,y_1)$

Una asignación se llama eficiente de Pareto si no hay otra asignación de paquetes a las familias de manera que todos los miembros de todas las familias prefieran débilmente y al menos un miembro de una familia prefiera estrictamente.

¿Bajo qué condiciones existe una asignación libre de envidia eficiente de Pareto?

Si cada familia tiene un solo miembro, entonces existe una asignación libre de envidia eficiente de Pareto; Este es un famoso teorema de Varian . ¿Se ha generalizado este teorema de individuos a familias?

En este momento no estoy seguro acerca de la equivalencia del reetiquetado y, por lo tanto, la utilidad de esta respuesta: vea los comentarios a continuación.

Este es el comienzo de una respuesta y un intento de demostrar cuán fuertes deberían ser los supuestos necesarios para garantizar la existencia.

Transformemos el problema en uno que sea equivalente pero un poco más fácil de trabajar. En lugar de indexar sobre familias, indexemos sobre los agentes (miembros de familias). La clave de este nuevo etiquetado es comprender que las familias se pueden escribir como restricciones: si los agentes y j pertenecen a la misma familia, entonces x i = x j e y i = y j .$i$$j$$x_i=x_j$$y_i = y_j$

Ahora estamos de vuelta en el entorno estándar con agentes individuales (no familias) pero con estas restricciones familiares. Recuerde la prueba del teorema de Varian, que vincula en la pregunta. Utiliza la existencia de un equilibrio competitivo de ingresos iguales. En este contexto, necesitaríamos la existencia de un equilibrio competitivo de ingresos iguales en el que también se cumplieran las restricciones familiares. Esto va a ser muy difícil de hacer. Por ejemplo, considere que y j están en una familia, y u i = x i + ε y $i$$j$ donde ε > 0 es pequeño. Estas preferencias son monótonas y convexas. Básicamente, un miembro de la familia se preocupa por xy el otro se preocupa por y . Si cada uno de los dos agentes está comprando x e y para maximizar su utilidad, no esperaría que x ∗ i = x ∗ j o y ∗ i = y ∗ j en el equilibrio competitivo (vea elapéndiceal final).

$$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$$ $\varepsilon>0$$x$$y$$x$$y$$x_i^* = x_j^*$$y_i^* = y_j^*$

Esta es la razón por la que sin duda necesita alguna suposición sobre las similitudes de preferencia dentro de las familias (al menos para usar una versión de la prueba de Varian). Mi sensación es que si me das una diferencia arbitrariamente pequeña en las preferencias entre los miembros de la familia, puedo construir un ejemplo alrededor de esto donde no exista CEEI en el que elijan la misma asignación. Y luego, al menos, no puedes usar la prueba de Varian.

Dos preguntas:

1. ¿Está de acuerdo en que mi reformulación del problema es formalmente equivalente a usted?
2. ¿Puedes pensar en alguna suposición más débil que asumir una homogeneidad de preferencia dentro de la familia que puedo intentar invalidar con un contraejemplo?

Anexo: Recuerde que en un equilibrio competitivo, la tasa marginal de sustitución (MRS) de cada agente es igual a la relación de precios. Aquí, mis agentes tienen MRS constantes y diferentes, por lo que no puede existir un equilibrio competitivo con una relación de precios que iguale a sus dos MRS. Si cada agente tiene un MRS que varía, entonces tal vez podrían ser iguales en la relación de precio de equilibrio. Entonces, tal vez podría salirse con la noción de homogeneidad local de las preferencias familiares. Pero debe hacer que sean localmente homogéneos en el equilibrio competitivo, que es exactamente lo que está tratando de demostrar que existe, por lo que sería un poco circular.

Nota importante: Como se mencionó anteriormente, supongo que la única forma de demostrar la existencia es cómo lo hizo Varian, a través de CEEI. Puede haber otras técnicas de prueba que eviten estos problemas, pero sospecho que no.

$i,j$$x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

$$MRS_i = MRS_j$$ Si esto no fuera cierto, habría una mejora de Pareto. El equilibrio competitivo esencialmente iguala las MRS a través de la relación de precios, pero aún necesita igualar estas MRS solo para encontrar una asignación eficiente de Pareto. Creo que las restricciones familiares harán que esto sea muy difícil: no es difícil encontrar un entorno y restricciones familiares de tal manera que no exista un equilibrio eficiente de Pareto que satisfaga esas restricciones. En cualquier caso, este podría ser otro paso parcial hacia una respuesta: Olvídate de la ausencia de envidia. Primero, trate de llegar a una suposición sobre las preferencias (y quizás sobre las restricciones familiares) que garantice la existencia de una asignación eficiente de Pareto que satisfaga las restricciones familiares. Entonces preocúpate por la envidia.

$n_u$$n_v$$i$

$$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$$ $a_i$$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

$$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$$ $b_j$$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

$X$$Y$$(\omega_X, \omega_Y)$

$\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$$m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

$\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$$\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$$\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$$\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$$\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$$\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

Suponga que las preferencias de todos los agentes en todas las familias son monótonas y convexas (los supuestos estándar de la teoría del consumidor).

Entonces, una asignación libre de envidia eficiente de Pareto siempre existe cuando hay dos familias. Sin embargo, podría no existir cuando hay tres o más familias.

Se pueden encontrar pruebas y ejemplos en este documento de trabajo .

El enunciado del problema parece implicar que X e Y no pueden ser sustitutos (un dispositivo eléctrico no puede usarse como mueble de hogar).

Una asignación libre de envidia eficiente de Pareto existe cuando:

Para al menos un agente, al menos algunos bienes tienen una utilidad negativa o son complementos, y los agentes pueden elegir no consumir.

Ejemplo:

1. Los agentes A y B pertenecen a la familia F1.
2. La función de utilidad del agente A es:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

3. La función de utilidad del agente B es:

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

4. Los agentes C y D pertenecen a la familia 2.
5. El agente C tiene una función de utilidad:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

6. El agente D tiene función de utilidad:

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

Solución:

F1 prefiere (X1, Y1) y el agente A elegirá no consumir ningún bien.

F2 prefiere (X2, Y2) y el agente C elegido para no consumir ningún bien.

Estos son realmente argumentos semánticos y no hay un equilibrio significativo sin asumir preferencias compartidas.