Explicación intuitiva de

¿Alguien puede proporcionar una explicación intuitiva de por qué la matriz de Slutsky multiplicada por el vector de precios produce una matriz cero?

Sé que esto es cierto, pero realmente no entiendo por qué es cierto. ¿Alguien puede ayudar aquí?

Esta es una propiedad matemática general de la segunda matriz derivada / hessiana de funciones multivariadas que son homogéneas de grado uno.

La función de gasto es homogénea de grado uno en precios. ¿Por qué? Si todos los precios cambian en la misma proporción (que es cómo verificamos la propiedad matemática de la homogeneidad), los precios relativos no cambian. Si los precios relativos no cambian, la composición cuantitativa del paquete de consumo compensado de costo mínimo para lograr una utilidad determinada no cambia en absoluto . Luego, dado que todos los precios han aumentado en la misma proporción, las participaciones presupuestarias siguen siendo las mismas, y el gasto necesario para lograr la misma utilidad aumenta en la misma proporción: homogeneidad de primer grado.$E$

Por dualidad, el vector de demanda de Hicks es el gradiente de la función de gasto, .$H = \nabla_p E$

El vector de demanda Hicksian, nos da cantidades de costo mínimo demandado. Debido a la homogeneidad de grado uno de la función de gasto, el producto interno del vector de demanda Hicksian multiplicado por el vector de precio es igual a la función de gasto. Esto también debe ser intuitivo: simplemente multiplicamos cada cantidad demandada por el precio unitario que se debe pagar por ella, y al sumar estos productos obtenemos el gasto total en el que debemos incurrir para adquirir el paquete de costo mínimo para la utilidad dada.

$E = H\cdot p$$\frac {\partial}{\partial p}E = H$

$$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$$

y debe ser el caso que

$$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$$

$k$$k-1$

$\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$$S(w,p) \cdot p = 0$

Por lo tanto, el resultado proviene de la homogeneidad de grado uno de la función de gasto. ¿Existe una explicación intuitiva, análogamente a la intuición detrás de la homogeneidad de grado uno de la función de gasto? Bueno, el primero viene directamente del segundo, por lo que es difícil encontrar un argumento intuitivo "separado". Se podría decir informalmente que las cantidades compensadas demandadas son "independientes" de (no se ven afectadas por) la variación de precios cuando los precios relativos siguen siendo los mismos. Entonces, en términos geométricos, esto significa que los vectores de tasas de cambio de las cantidades compensadas demandadas (que es lo que contiene cada fila de la matriz de Slutsky), son ortogonales al vector de precios.

No sé si considerarán esto como una explicación, o más bien como una prueba.

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$p^\ast$$\delta$

$$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$$

$h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

$$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$$

$\mathbf{p^\ast}$$\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$${p_j^\ast}$$\Delta \times {p_j^\ast}$$h_i$$\delta$$\Delta \mathbf{p^\ast}$$S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

Dicho de otra manera, dado que la demanda hicksiana de cualquier bien no responde a un cambio en los precios que mantiene los precios relativos iguales, entonces si observamos el total de los efectos individuales de estos cambios en los precios de un bien, deberíamos observar un 0 cambio.

$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$$D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$$p'x(p,w)=w$$x(p,w)'p=w$$S(p,w)p=0$