Axioma de continuidad en la teoría de la utilidad esperada

Tome la siguiente definición de continuidad.

$\succsim$$\mathcal L$$L,L',L''\in\mathcal L$

$$S_1=\{\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L'\succsim L''\}$$ $$S_2=\{\alpha\in[0,1]:L''\succsim \alpha L+(1-\alpha)L'\}$$

¿Es necesariamente cierto que $S_1\cup S_2=[0,1]$ ? Si es así, ¿por qué?

Está.
Antes de la continuidad, que es una propiedad de la relación de preferencia, la relación de preferencia sí misma se ha definido como una relación binaria que se caracteriza por la transitividad y, para empezar, por la integridad . Entonces, si , significa que existen algunos valores de en algún lugar de , llámelos \ tilde \ alpha para los cuales $\succsim$
α [ 0 , 1 ] ˜ $S_1\cup S_2 \neq [0,1]$$\alpha$$[0,1]$$\tilde \alpha$

ninguno

$$\{\tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\succsim L''\}$$

ni

$$\{L''\succsim \tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\}$$

En palabras, para estos 's, el par no se puede ordenar en absoluto . Pero esto contradice la base de completitud que se necesita para obtener incluso una relación de preferencia (como, por supuesto, se utiliza en nuestra teoría. Supongo que los psicólogos estarían en desacuerdo).$\tilde \alpha$

Además, tenga en cuenta que la integridad se define sobre todos los pares concebibles, incluso si, en una situación específica, elegimos restringir el espacio de las loterías a algo más pequeño. Si las loterías consideradas pertenecen al espacio de lotería especificado, es realmente irrelevante. La persona que tiene las preferencias tiene que poder ordenarlas en cualquier caso, incluso como un escenario "hipotético" (aunque estrictamente hablando, para un problema específico tenemos el "lujo" de imponer la integridad solo en lo que respecta a las loterías disponibles, mientras que " permanece agnóstico "en lo que respecta a la integridad si ampliamos el espacio de la lotería. Aún así, este" debilitamiento "en la imposición del axioma de la integridad, realmente no trae ninguna ganancia).