Forma alternativa de derivar coeficientes MCO

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En otra pregunta mía , un respondedor usó la siguiente derivación del coeficiente OLS:

Tenemos un modelo: donde Z no se observa. Luego tenemos: plim

Y=X1β+X2β2+Zγ+ε,
ZdondeX1 =M2X1yM2=[I-X2(X2 X2)-1X2 ].
plimβ^1=β1+γCov(X1,Z)Var(X1)=β1,
X1=M2X1M2=[IX2(X2X2)1X2]

Esto se ve diferente del habitual que he visto en Econometría. ¿Existe una exposición más explícita de esta derivación? ¿Hay un nombre para la matriz M 2 ?β=(XX)1XYM2

Heisenberg
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Estoy bastante seguro de que se describe en las notas de conferencia de Hansen, pero no las tengo en mis manos en este momento.
FooBar

Respuestas:

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El matriz es la "aniquilador" o matriz "fabricante residual" asociado con la matriz X . Se llama "aniquilador" porque M X = 0 (por supuesto, su propia matriz X ). Está se denomina "fabricante residual" porque M y = e , en la regresión y = X β + e . M=IX(XX)1XXMX=0XMy=e^y=Xβ+e

Es una matriz simétrica e idempotente. Se utiliza en la prueba del teorema de Gauss-Markov.

Además, se utiliza en el teorema de Frisch-Waugh-Lovell , del cual se pueden obtener resultados para la "regresión particionada", que dice que en el modelo (en forma de matriz)

y=X1β1+X2β2+u

tenemos eso

β^1=(X1M2X1)1(X1M2)y

Como es idempotente, podemos reescribir lo anterior porM2

β^1=(X1M2M2X1)1(X1M2M2)y

M2

β^1=([M2X1][M2X1])1([M2X1][M2y]

Pero este es el estimador de mínimos cuadrados del modelo

[M2y]=[M2X1]β1+M2u

M2yyX2

yX2M2X1β^1yX1X2

X1x1M2x1X1X2β^1X1X2YX2

Esta es una parte emblemática del clásico Álgebra de mínimos cuadrados.

Alecos Papadopoulos
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Comencé a responder, pero me superpuse mucho con esta respuesta. Puede encontrar mucha de esta información en el Capítulo 3.2.4 de la 7ª edición de "Análisis econométrico" de Bill Greene.
cc7768
@ cc7768 Sí, esa es una buena fuente de álgebra de mínimos cuadrados. Pero no dude en publicar material adicional. Por ejemplo, esencialmente mi respuesta cubre solo la segunda pregunta del OP.
Alecos Papadopoulos
M2yX1β^1M2yM2X1
@Heisenberg Correcto. Error de tipografía. Lo arregló y agregó un poco más.
Alecos Papadopoulos