¿Cuál es la diferencia entre la no saciedad local y la monotonicidad?

¿Hay alguna diferencia práctica entre la no saciedad local y la montonicidad? ¿Puede uno existir en una función de utilidad sin el otro?

La monotonicidad de las preferencias es una más fuerte Condición que no local. La monotonicidad implica la no sentancia local, pero no al revés.

Para ver esto:

Reclamación: Dejar $ \ succsim $ ser una relación de preferencia monótona sobre $ \ mathbb {R} ^ n _ {+} $ . Por lo tanto, $ \ succsim $ es localmente sin estúpido.

Prueba: Arreglar algunos $ \ varepsilon & gt; 0 $ . Que haya un arbitrario $ x \ in \ mathbb {R} ^ n _ {+} $ y deja $ \ mathbf {1} \ in \ mathbb {R} ^ n _ {+} $ ser el vector unitario Para cualquier $ \ lambda & gt; 0 $ , también tenemos $ x + \ lambda \ mathbf {1} \ in \ mathbb {R} ^ n _ {+} $ . Ya que claramente $ x + \ lambda \ mathbf {1} \ gg x, $ $ x + \ lambda \ mathbf {1} \ succ x $ Por la monotonicidad. Considere la siguiente métrica sobre $ \ mathbb {R} ^ n _ {+} $ :

$$ d (x + \ lambda \ mathbf {1}, x) = || x + \ lambda \ mathbf {1} -x || = \ lambda || \ mathbf {1} || = \ lambda \ sqrt {n}. $$

Asi para $ \ lambda & lt; \ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {n}} $ , $ d (x + \ lambda \ mathbf {1}, x) & lt; \ varepsilon $ todavía $ x + \ lambda \ mathbf {1} \ succ x $ . Ya que $ x $ Era arbitrario, la existencia de tal punto implica que $ \ succsim $ es localmente sin estúpido. $ \ blacksquare $

Para demostrar que las preferencias locales no están no implica preferencias monótonas, puede llegar a una función de utilidad $ u (\ cdot) $ sobre diversos productos que aumenta estrictamente con respecto a algunos de los productos pero alcanza un punto de saciedad por al menos uno de los otros. Por ejemplo, en $ \ mathbb {R} ^ 2 _ {+} $ :

$$ u (x_1, x_2) = x_1 - | 1-x_2 |. $$

Un consumidor con tales preferencias está satisfecho con respecto a $ x_2 $ a $ x_2 = 1 $ .