Minimización de gastos con la utilidad Leontief

Necesito resolver la minimización del gasto en un contexto donde $u(x,y) = min\{x,y\}$ , es decir, donde la utilidad es Leontief.

El problema de minimización es

Sé que si tuviera que maximizar la función de utilidad sam, tendría que imponer la igualdad entre el contenido de las llaves. Pero estoy atrapado en entender cómo debería comportarme en este contexto. ¿Debo proceder por casos?

El método lagrangiano no sería de ninguna utilidad, porque la función de Leontief no es diferenciable en el punto de optimización / torcedura. Sin embargo, puede considerar el siguiente enfoque.

$U(x,y)=min\{x,y\}$$x=y$$p_1x+p_2y\leq w$$w$$p_1x+p_2x= w$$x=y$$x(\textbf{p},w)=y(\textbf{p},w)=\frac{w}{p_1+p_2}$$v(\textbf{p},w)=U(x(\textbf{p},w),y(\textbf{p},w))=min\{\frac{w}{p_1+p_2},\frac{w}{p_1+p_2}\}=\frac{w}{p_1+p_2}$

$v(\textbf{p},e(\textbf{p},u))=u$$\frac{e(\textbf{p},u)}{p_1+p_2}=u$$e(\textbf{p},u)=u(p_1+p_2)$$\frac{\partial e(\textbf{p},u)}{\partial p_i}=h_i(\textbf{p},u)$$h_1(\textbf{p},u)=u$$h_2(\textbf{p},u)=u$

Otro enfoque es posible. También puede resolver el EMP para la función de utilidad CES estándar, y luego derivar las demandas hicksianas respectivas para la función Leontief tomando límites adecuados sobre la elasticidad. (No conozco ningún material donde hayan utilizado este método, pero es posible según la teoría)