Πj(xj)xj
Πj(xj)=G(xj)+F(xjy)=G(xj)+F(Rj(xj))
Al diferenciarlo obtenemos
Π′j(xj)=G′(xj)+F′(Rj(xj))R′j(xj)
Π′j(xj)
Π′′j(xj)=G′′(xj)+F′′(Rj(xj))(R′j(xj))2+F′(Rj(xj))R′′j(xj)<0
Πj
x∗∗
x∗∗
G′(x∗∗)+F′(1)R′j(x∗∗)=0
x∗∗x∗
x∗
G′(x∗)=0
x∗∗
sol′( x∗ ∗) + F′( 1 ) R′j( x∗ ∗) = 0
Combinando los dos, obtenemos
F′( 1 ) R′j( x∗ ∗) = G′( x∗) - G′( x∗ ∗)
F′( 1 ) > 0R′j( x∗ ∗) > 0
sol′( x∗) - G′( x∗ ∗) > 0
solX∗< x∗ ∗
X∗X∗ ∗
Πj(x∗∗)=G(x∗∗)+F(1)=G(x∗∗)<G(x∗)
x∗∗x∗
θ∗>0x∗∗=x∗
x∗∗θ
G′(x∗∗)+F′(1)R′j(x∗∗)−θ=0
∂x∗∗/∂θθ
G′′(x∗∗)∂x∗∗∂θ+F′(1)R′′j(x∗∗)∂x∗∗∂θ−1=0
Esto produce
∂x∗∗∂θ=1G′′(x∗∗)+F′(1)R′′j(x∗∗)<0
θ∗x∗∗=x∗
G′(x∗∗)+F′(1)R′j(x∗∗)−θ=0
x∗∗=x∗
θ∗=F′(1)R′j(x∗)