¿Cómo encontrar la "función de costo" dada la función de producción * así como * el costo por unidad producida y los costos fijos?

Estoy trabajando en el siguiente problema de tarea, transcrito textualmente:

Una empresa tiene una función de producción definida como . La empresa enfrenta costos de $ 20 salariales, $ 60 de renta de capital, $ 2 por unidad producida y un costo fijo de $ 42. Encuentre la función de costo y el costo total promedio, el costo variable promedio y las funciones de costo marginal.$y = 8L^{1/4}K^{3/4}$

Estoy confundido en dos niveles.

(1) ¿La "función de costo" significa función de costo a corto plazo , manteniendo constante el capital, o significa función de costo a largo plazo , permitiendo que ambas entradas varíen? ¿Cómo puede el profesor ser tan despistado como para no darse cuenta de que la pregunta es ambigua como está escrita?

(2) Si la empresa enfrenta costos de " $ 2 por unidad producida y un costo fijo de $ 42", ¿no debería la función de costo ser simplemente ? Pero esta respuesta contradice la solución que obtengo cuando uso el enfoque lagrangiano.$c(y)=2y+42$

$c(y)$$20L+60K$$y=8L^{1/4}K^{3/4}$

$$20=2\lambda (K/L)^{3/4}$$ $$60=6\lambda(L/K)^{1/4}$$

asi que

$$10(L/K)^{3/4}=10(K/L)^{1/4} \implies L=K$$

$y=8K$$c(y)=80K=10y$$c(y)=2y+42$