Ayuda con una elección bajo ejercicio de incertidumbre [cerrado]

Supongamos que y son funciones de utilidad (no necesariamente VNM) que representan en \ mathcal {G} . Demuestre que v es una transformación afín positiva de u si y solo si para todas las apuestas g ^ 1, g ^ 2, g ^ 3 en \ mathcal {G} , sin dos indiferentes, tenemos:$u$$v$$\succsim$$\mathcal{G}$$v$$u$$g^1, g^2, g^3$$\mathcal{G}$

$\frac{u(g^1)-u(g^2)}{u(g^2)-u(g^3)} =\frac{v(g^1)-v(g^2)}{v(g^2)-v(g^3)}$

He tratado de resolverlo, pero no estoy seguro de por dónde empezar. ¿Alguien que me dio una pista?

Supongamos que para es decir, es una transformación afín positiva de , entonces $v=\alpha + \beta u$$\beta > 0$$v$$u$

$$\frac{v(g^1) - v(g^2)}{v(g^2) - v(g^3)} = \frac{\alpha + \beta u(g^1) - \alpha - \beta u(g^2)}{\alpha + \beta u(g^2) - \alpha - \beta u(g^3)} = \frac{u(g^1) - u(g^2)}{u(g^2) - u(g^3)}$$

Converse no es cierto porque también satisface$v=-u$

$$\frac{v(g^1) - v(g^2)}{v(g^2) - v(g^3)} = \frac{u(g^1) - u(g^2)}{u(g^2) - u(g^3)}$$

para todos los .$g_1, g_2, g_3\in\mathcal{G}$

Agregado más tarde

Por cierto, conversar también es cierto. Se nos da esta información que y representan . Entonces, no es un ejemplo válido ya que ambos no pueden representar .$u$$v$$\succsim$$v=-u$$\succsim$

Aquí está la prueba de lo contrario:

Fijar cualesquiera dos loterías y tal que y, en consecuencia, . Para cualquier lotería , sabemos que lo siguiente es cierto$b$$w$$u(b) > u(w)$$v(b) > v(w)$$g\in\mathcal{G}$

$$\frac{v(g) - v(w)}{v(w) - v(b)} = \frac{u(g) - u(w)}{u(w) - u(b)}$$

Entonces, o equivalente,

$$v(g) = v(w) + (v(w) - v(b))\frac{u(g) - u(w)}{u(w) - u(b)}$$

$$\begin{eqnarray*} v(g) & = & v(w) - \frac{v(w) - v(b)}{u(w) - u(b)}u(w)+ \frac{v(w) - v(b)}{u(w) - u(b)}u(g) \\ & = & \left(\frac{u(w)v(b) - v(w)u(b)}{u(w) - u(b)}\right)+ \left(\frac{v(w) - v(b)}{u(w) - u(b)}\right)u(g) \end{eqnarray*}$$

Por lo tanto, where y .$v = \alpha + \beta u$$\displaystyle\alpha = \frac{u(w)v(b) - v(w)u(b)}{u(w) - u(b)}$$\displaystyle\beta = \frac{v(w) - v(b)}{u(w) - u(b)} > 0$

Bueno, la parte "si" es ciertamente sencilla. Haga v = a + bu donde b> 0. Las a se cancelan mediante resta en cada numerador y denominador; Una vez hecho esto, las b se cancelan en numerador y denominador.

La parte "solo si" es un poco más difícil.