Preferencia relación representación de valor sin incertidumbre.

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Sea $ \ succeq $ una orden débil en $ \ mathbb {R} ^ n $. Si

  1. $ x \ geq y \ Rightarrow x \ succeq y $
  2. para cualquier $ x \ succ y \ succ z $ existe un $ \ lambda \ in (0,1) $ único tal que $ y \ sim \ lambda x + (1- \ lambda) z $,

entonces existe una representación de valor de $ \ succeq $.

¿Podría alguien darme un ejemplo donde se pueda aplicar el teorema de representación del valor (sin incertidumbre) en el espacio euclidiano dimensional $ n $ y un ejemplo de contador que no se pueda aplicar?

user123
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¿Puede por favor aclarar la condición 1)? ¿Debemos leer $ x \ geq y \ Rightarrow x \ succeq y $? Lo pregunto porque su condición es trivialmente incorrecta por $ x = y $.
Oliv
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¿Sabemos (o nos importa) cuáles son las preferencias cuando no se mantiene $ x \ geq y $, ni $ x \ leq y $?
Alecos Papadopoulos

Respuestas:

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Primero, considere la relación de preferencia $ \ succeq $ definida por \ begin {equation *} x \ succeq y \ text {if} x_1 + \ cdots + x_n \ geq y_1 + \ cdots + y_n \ end {ecuación *}

Esta relación de preferencia satisface sus suposiciones. De hecho, supongamos que $ x \ succ y \ succ z $. Puede verificar que $ y \ sim \ lambda x + (1- \ lambda) z $ para un $ \ lambda $ único definido por \ begin {equation *} \ lambda = \ dfrac {y_1 + \ cdots + y_n- (z_1 + \ cdots + z_n)} {x_1 + \ cdots + x_n- (z_1 + \ cdots + z_n)} \ end {ecuación *}

Y estas preferencias obviamente admiten la representación de la utilidad $ u (x) = x_1 + \ cdots + x_n $.

Ahora, considere la relación de preferencia lexicográfica $ \ succeq $ definida (tomo $ n = 2 $ por simplicidad) por \ begin {equation *} x \ succ y \ text {if} (x_1 & gt; y_1) \ text {o} (x_1 = y_1, x_2 & gt; y_2) \ end {ecuación *} Las preferencias lexicográficas tienen dos propiedades importantes:

  • $ x \ sim y $ if y solo si $ x = y $
  • no tienen representación de utilidad

Si $ x = (1,1) $, $ y = (0,1) $ y $ z = (0,0) $, tenemos $ x \ succ y \ succ z $. Además, cualquier $ \ lambda & gt; 0 $ es tal que $ \ lambda x + (1- \ lambda) z \ succ y $. Por lo tanto, la suposición 2. no es válida, y la conclusión del teorema (existencia de una representación de utilidad) tampoco es válida.

Oliv
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@HerrK. Lo contrario al supuesto 1 no es $ y \ succ x \ Rightarrow y & gt; x $ sino $ y \ succ x \ Rightarrow y \ not \ leq x $, que es diferente (estamos en $ \ mathbb {R} ^ 2) PS El supuesto 1 está de hecho satisfecho con las preferencias lexicográficas.
Oliv
Tienes razón. Mi error.
Herr K.